Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1,-3) dan

Persamaan lingkarannya adalah $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(h, k)$ dengan jari-jari $r$ adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Dalam kasus ini, pusatnya adalah $(1, -3)$, sehingga $h=1$ dan $k=-3$. Lingkaran menyinggung garis $x+2y+10=0$. Jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran. Jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax+By+C=0$ diberikan oleh rumus: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Di sini, $(x_0, y_0) = (1, -3)$, $A=1$, $B=2$, dan $C=10$.
Maka, jari-jari $r$ adalah:
$r = \frac{|1(1) + 2(-3) + 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 6 + 10|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.

Sekarang kita substitusikan pusat $(1, -3)$ dan jari-jari $r = \sqrt{5}$ ke dalam persamaan lingkaran:
$(x-1)^2 + (y-(-3))^2 = (\sqrt{5})^2$
$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$

Jika dijabarkan:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 5$
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 5$
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$.

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$ atau $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$.