Diketahui segiempat ABCD dengan titik P pada A C sehingga

Gunakan vektor untuk membuktikan. Misalkan A adalah titik asal, maka $\\vec{PQ} = \\vec{AQ} - \\vec{AP}$. Dengan substitusi dan penyederhanaan, didapatkan $3 \\vec{PQ} = 2 \\vec{AB} + \\vec{AD} - \\vec{AC}$.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 3PQ = 2AB + AD - AC, kita dapat menggunakan vektor. Misalkan titik A adalah titik asal (0,0).

Diketahui:
- Segiempat ABCD
- P pada AC sehingga AP = 1/3 AC
- Q pada BD sehingga BQ = 1/3 BD

Dalam notasi vektor:
$\\vec{AP} = \frac{1}{3} \vec{AC}$
$\\vec{AQ} = \vec{AB} + \vec{BQ} = \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{BD}$

Kita tahu bahwa $\\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Maka,
$\\vec{AQ} = \vec{AB} + \frac{1}{3} (\\vec{AD} - \vec{AB})$
$\\vec{AQ} = \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD} - \frac{1}{3} \vec{AB}$
$\\vec{AQ} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD}$

Sekarang kita cari vektor PQ:
$\\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$
$\\vec{PQ} = (\\frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD}) - \frac{1}{3} \vec{AC}$
$\\vec{PQ} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD} - \frac{1}{3} \vec{AC}$

Kalikan kedua sisi dengan 3:
$3 \\vec{PQ} = 3 (\\frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD} - \frac{1}{3} \vec{AC})$
$3 \\vec{PQ} = 2 \\vec{AB} + 1 \\vec{AD} - 1 \\vec{AC}$

Terbukti bahwa 3PQ = 2AB + AD - AC.