Tentukan nilai minimum dari fungsi Z=3x+3y yang dibatasi

Nilai minimum Z adalah 12.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dari fungsi Z = 3x + 3y yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan, kita akan menggunakan metode program linear.

Sistem pertidaksamaan:
1. 2x + 3y ≥ 9
2. x + y ≥ 4
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Gambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:**
    *   Untuk 2x + 3y = 9: Jika x=0, y=3. Jika y=0, x=4.5. Titik (0,3) dan (4.5,0).
    *   Untuk x + y = 4: Jika x=0, y=4. Jika y=0, x=4. Titik (0,4) dan (4,0).
    *   x ≥ 0 dan y ≥ 0 menunjukkan daerah di kuadran I.
    Kita perlu mencari titik potong dari kedua garis:
    Dari x + y = 4, maka x = 4 - y.
    Substitusikan ke 2x + 3y = 9:
    2(4 - y) + 3y = 9
    8 - 2y + 3y = 9
    y = 1
    Jika y = 1, maka x = 4 - 1 = 3.
    Titik potong adalah (3,1).

2.  **Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian:**
    Titik-titik pojok adalah perpotongan garis-garis batas.
    *   Titik potong garis x + y = 4 dengan sumbu y (x=0): (0,4)
    *   Titik potong garis 2x + 3y = 9 dengan sumbu x (y=0): (4.5,0)
    *   Titik potong kedua garis: (3,1)

    Periksa apakah titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan.
    *   (0,4): 2(0)+3(4)=12>=9 (Benar), 0+4=4>=4 (Benar), 0>=0 (Benar), 4>=0 (Benar).
    *   (4.5,0): 2(4.5)+3(0)=9>=9 (Benar), 4.5+0=4.5>=4 (Benar), 4.5>=0 (Benar), 0>=0 (Benar).
    *   (3,1): 2(3)+3(1)=6+3=9>=9 (Benar), 3+1=4>=4 (Benar), 3>=0 (Benar), 1>=0 (Benar).
    
    Jadi, titik-titik pojok yang valid adalah (0,4), (3,1), dan (4.5,0).

3.  **Uji nilai fungsi tujuan Z = 3x + 3y pada setiap titik pojok:**
    *   Di titik (0,4): Z = 3(0) + 3(4) = 0 + 12 = 12
    *   Di titik (3,1): Z = 3(3) + 3(1) = 9 + 3 = 12
    *   Di titik (4.5,0): Z = 3(4.5) + 3(0) = 13.5 + 0 = 13.5

Nilai minimum dari fungsi Z adalah 12, yang dicapai pada titik (0,4) dan (3,1).