Diketahui segitiga ABC siku-siku di A. Titik D terletak

a. AN:NC = 1:2, b. DN = 2√17, c. MN = √17

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dengan AB = 8 dan AC = 6. Titik M adalah titik tengah BC. Pertama, kita cari panjang BC menggunakan teorema Pythagoras: BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100. Jadi, BC = 10. Karena M adalah titik tengah BC, maka BM = MC = 5. Kita juga diberitahu bahwa titik D terletak pada perpanjangan AB sehingga BD = BA = 8. Ini berarti A berada di antara D dan B, dengan DA = AB = 8. Jadi, DB = DA + AB = 8 + 8 = 16. Perpanjangan DM memotong AC di N. Kita dapat menggunakan konsep kesebangunan segitiga atau vektor untuk menyelesaikan soal ini. Mari kita gunakan kesebangunan. Perhatikan segitiga DBN dan segitiga NMA (ini tidak tepat karena tidak ada informasi kesebangunan langsung). 

Alternatif menggunakan teorema Menelaus pada segitiga AB C dan garis D-N-M. Perlu diingat D di perpanjangan AB, jadi urutannya D-A-B. BD = BA = 8, maka DA = 8. A di antara D dan B. AB = 8, AC = 6, M tengah BC. N di AC.

Mari kita gunakan vektor atau koordinat. Misalkan A = (0,0), B = (8,0), C = (0,6). Maka D = (-8,0) karena D terletak pada perpanjangan AB sehingga BD = BA. M adalah titik tengah BC, jadi M = ((8+0)/2, (0+6)/2) = (4,3).

Garis DM melalui D(-8,0) dan M(4,3). Gradien garis DM adalah m_DM = (3-0)/(4-(-8)) = 3/12 = 1/4. Persamaan garis DM adalah y - 0 = 1/4 (x - (-8)) => y = 1/4 x + 2.

Garis AC adalah sumbu y, jadi persamaannya x = 0.
Titik N adalah perpotongan garis DM dan garis AC. Substitusikan x = 0 ke persamaan garis DM: y = 1/4(0) + 2 => y = 2. Jadi, N = (0,2).

a. AN:NC. Titik A=(0,0), N=(0,2), C=(0,6). Panjang AN = 2, Panjang NC = 6 - 2 = 4. Jadi, AN:NC = 2:4 = 1:2.
b. Panjang DN. D=(-8,0) dan N=(0,2). Jarak DN = sqrt((0 - (-8))^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(8^2 + 2^2) = sqrt(64 + 4) = sqrt(68) = 2*sqrt(17).
c. Panjang MN. M=(4,3) dan N=(0,2). Jarak MN = sqrt((0 - 4)^2 + (2 - 3)^2) = sqrt((-4)^2 + (-1)^2) = sqrt(16 + 1) = sqrt(17).