Jumlah dari dua bilangan real tak negatif x dan 2y tidak

Nilai maksimum dari 3x+y adalah 18.

Pembahasan

Soal ini adalah soal program linear yang meminta nilai maksimum dari suatu fungsi objektif dengan adanya kendala.

Kendala:
1. Jumlah dari dua bilangan real tak negatif x dan 2y tidak lebih besar daripada 10.
   x >= 0, y >= 0
   x + 2y <= 10

2. Jika y+8 tidak lebih kecil daripada 2x.
   y + 8 >= 2x
   Atau bisa ditulis: 2x - y <= 8

Fungsi Objektif yang ingin dimaksimalkan:
Nilai maksimum dari 3x + y

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian (HP) dari kendala-kendala tersebut.
   a. x >= 0, y >= 0 (kuadran I)
   b. x + 2y <= 10
      Jika x=0, 2y=10 => y=5. Titik (0, 5)
      Jika y=0, x=10. Titik (10, 0)
Garis: x + 2y = 10. Daerah di bawah garis ini.
   c. 2x - y <= 8
      Jika x=0, -y=8 => y=-8. Titik (0, -8)
      Jika y=0, 2x=8 => x=4. Titik (4, 0)
Garis: 2x - y = 8. Untuk menentukan daerahnya, uji titik (0,0): 2(0) - 0 = 0 <= 8. Jadi daerahnya mengandung (0,0).

2. Menentukan titik-titik sudut (vertex) dari daerah himpunan penyelesaian.
   Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis kendala.
   - Perpotongan sumbu y dengan garis x + 2y = 10: (0, 5)
   - Perpotongan sumbu x dengan garis 2x - y = 8: (4, 0)
   - Perpotongan garis x + 2y = 10 dengan garis 2x - y = 8.
     Kalikan persamaan kedua dengan 2:
     4x - 2y = 16
     Tambahkan dengan persamaan pertama:
     (x + 2y) + (4x - 2y) = 10 + 16
     5x = 26
     x = 26/5 = 5,2
     Substitusikan x ke x + 2y = 10:
     5,2 + 2y = 10
     2y = 10 - 5,2
     2y = 4,8
     y = 2,4
     Titik perpotongan: (5,2, 2,4)

   Namun, kita perlu memeriksa apakah titik-titik ini berada dalam daerah yang dibatasi oleh semua kendala, termasuk x>=0 dan y>=0.
   Titik (0, 5): memenuhi x>=0, y>=0. Cek 2x-y <= 8: 2(0)-5 = -5 <= 8 (Memenuhi).
   Titik (4, 0): memenuhi x>=0, y>=0. Cek x+2y <= 10: 4+2(0) = 4 <= 10 (Memenuhi).
   Titik (5.2, 2.4): memenuhi x>=0, y>=0. Cek x+2y <= 10: 5.2 + 2(2.4) = 5.2 + 4.8 = 10 <= 10 (Memenuhi). Cek 2x-y <= 8: 2(5.2) - 2.4 = 10.4 - 2.4 = 8 <= 8 (Memenuhi).

   Perlu diperiksa lagi titik potong dengan sumbu x dan y.
   Garis x+2y=10 memotong sumbu y di (0,5) dan sumbu x di (10,0).
   Garis 2x-y=8 memotong sumbu y di (0,-8) dan sumbu x di (4,0).

   Daerah HP dibatasi oleh:
   - Sumbu y (x=0)
   - Sumbu x (y=0)
   - Garis x + 2y = 10
   - Garis 2x - y = 8

   Titik sudut yang relevan:
   1. Perpotongan x=0 dan y=0: (0,0)
   2. Perpotongan x=0 dan x+2y=10: (0,5)
   3. Perpotongan y=0 dan 2x-y=8: (4,0)
   4. Perpotongan x+2y=10 dan 2x-y=8: (5.2, 2.4)

   Sekarang, kita evaluasi fungsi objektif 3x + y pada setiap titik sudut:
   - Di (0,0): 3(0) + 0 = 0
   - Di (0,5): 3(0) + 5 = 5
   - Di (4,0): 3(4) + 0 = 12
   - Di (5.2, 2.4): 3(5.2) + 2.4 = 15.6 + 2.4 = 18

   Nilai maksimum dari 3x + y adalah 18, yang terjadi pada titik (5.2, 2.4).

   Mari kita cek kembali interpretasi kendala.
   "Jumlah dari dua bilangan real tak negatif x dan 2y tidak lebih besar daripada 10." -> x + 2y <= 10. (Benar)
   "Jika y+8 tidak lebih kecil daripada 2x." -> y + 8 >= 2x -> 2x - y <= 8. (Benar)

   Perhitungan titik potong sudah benar.
   x = 26/5 = 5.2
   y = 24/10 = 2.4

   Evaluasi fungsi objektif 3x + y:
   Pada (0,0): 0
   Pada (0,5): 5
   Pada (4,0): 12
   Pada (5.2, 2.4): 3(5.2) + 2.4 = 15.6 + 2.4 = 18

   Jadi, nilai maksimum dari 3x + y adalah 18.