Diketahui selisih dua bilangan nonnegatif adalah 5. Nilai

0

Pembahasan

Misalkan dua bilangan nonnegatif tersebut adalah x dan y. 
Diketahui selisih dua bilangan nonnegatif adalah 5. Ini dapat ditulis sebagai:
x - y = 5  (dengan asumsi x >= y, karena nonnegatif)

Kita ingin mencari nilai terkecil dari perkalian kedua bilangan tersebut, yaitu P = x * y.

Dari persamaan selisih, kita bisa menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain. Misalnya, nyatakan x dalam bentuk y:
x = y + 5

Sekarang substitusikan ekspresi x ini ke dalam persamaan perkalian:
P = (y + 5) * y
P = y^2 + 5y

Ini adalah sebuah fungsi kuadratik dalam bentuk P(y) = y^2 + 5y. Karena koefisien dari y^2 (yaitu 1) positif, parabola membuka ke atas, yang berarti fungsi ini memiliki nilai minimum.

Nilai minimum dari fungsi kuadratik P(y) = ay^2 + by + c terjadi pada y = -b / (2a).
Dalam kasus ini, a = 1 dan b = 5.

y_minimum = -5 / (2 * 1)
y_minimum = -5 / 2
y_minimum = -2.5

Namun, soal menyatakan bahwa kedua bilangan tersebut adalah "nonnegatif", yang berarti y >= 0.
Karena nilai minimum teoritis terjadi pada y = -2.5 (yang tidak memenuhi syarat nonnegatif), kita perlu mempertimbangkan domain y >= 0.

Karena parabola membuka ke atas dan titik minimumnya berada di sebelah kiri sumbu y (y = -2.5), maka pada domain y >= 0, fungsi P(y) akan terus meningkat seiring dengan meningkatnya y.

Oleh karena itu, nilai terkecil dari P(y) pada domain y >= 0 akan terjadi pada nilai y terkecil yang mungkin, yaitu y = 0.

Jika y = 0:
Maka x = y + 5 = 0 + 5 = 5.
Kedua bilangan adalah 5 dan 0, yang keduanya nonnegatif.
Perkalian kedua bilangan tersebut adalah P = x * y = 5 * 0 = 0.

Mari kita periksa pilihan jawaban:
A. 6,25
B. 4
C. 0
D. -4
E. -6,25

Nilai perkalian terkecil yang mungkin adalah 0, yang terjadi ketika salah satu bilangan adalah 0 dan bilangan lainnya adalah 5.

Jika kita mempertimbangkan kemungkinan lain, misal selisihnya adalah |x - y| = 5. Namun, jika kedua bilangan nonnegatif, selisihnya tetap 5.

Jika kita mempertimbangkan jika x = y + 5 atau y = x + 5, dalam kedua kasus, jika salah satu variabel adalah 0, yang lain adalah 5, dan perkaliannya adalah 0.

Mari kita periksa jika ada kesalahan dalam pemahaman soal atau pilihan jawaban. Mungkin ada interpretasi lain.

Jika kita menganggap bilangan tersebut adalah x dan x+5, maka perkaliannya adalah x(x+5) = x^2 + 5x. Nilai minimum untuk x >= 0 adalah 0 (ketika x=0).

Jika kita menganggap bilangan tersebut adalah x dan x-5, maka perkaliannya adalah x(x-5) = x^2 - 5x. Untuk bilangan nonnegatif, jika x=5, maka bilangan lainnya adalah 0, perkalian 0. Jika x > 5, maka x-5 > 0. Nilai minimum dari x^2 - 5x pada x >= 5 terjadi pada x=5, hasilnya 0. Jika 0 <= x < 5, maka x-5 negatif, dan perkaliannya negatif. Nilai minimum dari x^2 - 5x terjadi pada x = -(-5)/(2*1) = 2.5. Namun x harus nonnegatif. Jika x=2.5, maka bilangan lainnya adalah 2.5-5 = -2.5. Tetapi kedua bilangan harus nonnegatif. Jadi interpretasi ini tidak sesuai.

Kembali ke interpretasi awal: dua bilangan nonnegatif x dan y, dengan x - y = 5. Kita mencari nilai terkecil dari x*y.
x = y + 5, y >= 0.
P(y) = (y+5)y = y^2 + 5y.
Untuk y >= 0, nilai minimum P(y) adalah saat y=0, memberikan P=0.

Mari kita pertimbangkan jika pilihan -6.25 atau -4 mungkin relevan. Ini akan terjadi jika salah satu bilangan bisa negatif. Tetapi soal secara eksplisit menyatakan "nonnegatif".

Jika kita memeriksa nilai pada pilihan jawaban:
Jika perkaliannya 6.25, maka x*y = 6.25. Dengan x-y=5. x=y+5. (y+5)y = 6.25 => y^2+5y-6.25 = 0. Menggunakan rumus kuadrat: y = [-5 +- sqrt(25 - 4*1*(-6.25))]/2 = [-5 +- sqrt(25 + 25)]/2 = [-5 +- sqrt(50)]/2 = [-5 +- 5*sqrt(2)]/2. Nilai y positif adalah (-5 + 5*sqrt(2))/2 approx (-5 + 5*1.414)/2 = (-5 + 7.07)/2 = 2.07/2 = 1.035. Jika y=1.035, x=6.035. Keduanya nonnegatif. Perkaliannya 1.035 * 6.035 = 6.25.

Jika perkaliannya 0, maka x*y=0. Dengan x-y=5. Jika x=0, y=-5 (tidak nonnegatif). Jika y=0, x=5 (nonnegatif). Perkaliannya 0.

Jika perkaliannya -4, maka x*y=-4. Dengan x-y=5. x=y+5. (y+5)y = -4 => y^2+5y+4 = 0 => (y+1)(y+4)=0. y=-1 atau y=-4. Keduanya negatif, tidak memenuhi syarat.

Jika perkaliannya -6.25, maka x*y=-6.25. Dengan x-y=5. x=y+5. (y+5)y = -6.25 => y^2+5y+6.25 = 0 => (y+2.5)^2 = 0. y=-2.5. Bilangan lainnya x = -2.5+5 = 2.5. Di sini, satu bilangan negatif (-2.5), satu bilangan nonnegatif (2.5). Ini tidak memenuhi syarat bahwa KEDUA bilangan nonnegatif.

Jadi, nilai perkalian terkecil yang mungkin ketika kedua bilangan adalah nonnegatif adalah 0.