Diketahui sin a=12/13 dan tan b=8/15, dengan a dan b sudut

Nilai cos(a-b) adalah 171/221.

Pembahasan

Diketahui sin a = 12/13 dan tan b = 8/15, dengan a dan b adalah sudut lancip. Kita diminta untuk menentukan nilai dari cos(a-b).

Rumus cos(a-b) adalah: cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b.

Langkah 1: Cari nilai cos a.
Karena sin a = 12/13 dan a lancip, kita gunakan identitas sin² a + cos² a = 1.
(12/13)² + cos² a = 1
144/169 + cos² a = 1
cos² a = 1 - 144/169
cos² a = (169 - 144) / 169
cos² a = 25/169
Karena a lancip, cos a positif.
cos a = √(25/169) = 5/13.

Langkah 2: Cari nilai sin b dan cos b.
Karena tan b = 8/15 dan b lancip, kita bisa membayangkan segitiga siku-siku dengan sisi depan 8 dan sisi samping 15. Sisi miring (hipotenusa) dapat dihitung menggunakan Pythagoras: miring² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289. Jadi, miring = √289 = 17.
Maka, sin b = depan/miring = 8/17.
Dan cos b = samping/miring = 15/17.

Langkah 3: Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus cos(a-b).
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b
cos(a-b) = (5/13) * (15/17) + (12/13) * (8/17)
cos(a-b) = 75/221 + 96/221
cos(a-b) = (75 + 96) / 221
cos(a-b) = 171/221

Kita bisa menyederhanakan 171/221. Keduanya bisa dibagi 19.
171 / 19 = 9
221 / 19 = 11.63 (sepertinya tidak bisa dibagi 19. Mari kita cek pembagi lain. Coba 13: 221/13 = 17. Coba 171/13 = 13.15. Coba 171/17 = 10.05. Mari kita cek lagi 221. 221 = 13 * 17. Coba 171 / 13 = 13.15. Coba 171 / 17 = 10.05. Sepertinya pembagian dengan 19 tidak tepat. Mari kita coba pembagi umum lain.

Mari kita periksa kembali perhitungan.
cos a = 5/13, sin a = 12/13
cos b = 15/17, sin b = 8/17
cos(a-b) = (5/13)(15/17) + (12/13)(8/17)
= 75/221 + 96/221
= 171/221

Coba kita bagi 171 dengan 9: 171/9 = 19. Coba 221 dengan 9: tidak habis.
Coba kita bagi 171 dengan 3: 171/3 = 57. Coba 221 dengan 3: tidak habis.

Mari kita gunakan faktor prima dari 221 yaitu 13 dan 17.
Apakah 171 habis dibagi 13? 171 / 13 = 13 sisa 2. Tidak.
Apakah 171 habis dibagi 17? 171 / 17 = 10 sisa 1. Tidak.

Sepertinya bentuk 171/221 adalah bentuk paling sederhana.

Jadi, cos(a-b) = 171/221.