Diketahui sin(x+15)=m dengan 0<=x<=15. Tentukan ekspresi

(2m*sqrt(3)*sqrt(1-m^2) + 1 - 2m^2) / 2

Pembahasan

Untuk menentukan ekspresi sin(2x+60) dalam m, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Diketahui sin(x+15) = m.
Kita ingin mencari nilai sin(2x+60).
Kita bisa menulis 2x+60 sebagai 2(x+15) + 30.
Menggunakan identitas sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB, dengan A = 2(x+15) dan B = 30, kita mendapatkan:
sin(2(x+15) + 30) = sin(2(x+15))cos(30) + cos(2(x+15))sin(30).

Selanjutnya, kita perlu mengekspresikan sin(2(x+15)) dan cos(2(x+15)) dalam bentuk m.
Kita tahu sin(x+15) = m. Maka, cos^2(x+15) = 1 - sin^2(x+15) = 1 - m^2. Karena 0 <= x <= 15, maka 15 <= x+15 <= 30. Dalam kuadran ini, cos(x+15) positif, sehingga cos(x+15) = sqrt(1 - m^2).

Sekarang kita gunakan identitas sin(2A) = 2sinAcosA dan cos(2A) = 1 - 2sin^2A.
Dengan A = x+15:
sin(2(x+15)) = 2sin(x+15)cos(x+15) = 2 * m * sqrt(1 - m^2).
cos(2(x+15)) = 1 - 2sin^2(x+15) = 1 - 2m^2.

Substitusikan kembali ke ekspresi awal:
sin(2x+60) = sin(2(x+15))cos(30) + cos(2(x+15))sin(30)
sin(2x+60) = (2m * sqrt(1 - m^2)) * (sqrt(3)/2) + (1 - 2m^2) * (1/2)
sin(2x+60) = m * sqrt(3) * sqrt(1 - m^2) + (1 - 2m^2) / 2
sin(2x+60) = (2m*sqrt(3)*sqrt(1-m^2) + 1 - 2m^2) / 2