Diketahui sistem persamaan: 3a+7b+c=315 4a+10b+c=420

Nilai dari a + b + c adalah 105.

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear:
1) 3a + 7b + c = 315
2) 4a + 10b + c = 420

Kita diminta untuk menentukan nilai dari a + b + c.

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel. Kita bisa mengeliminasi 'c' dengan mengurangkan persamaan (1) dari persamaan (2).
   (4a + 10b + c) - (3a + 7b + c) = 420 - 315
   4a + 10b + c - 3a - 7b - c = 105
   (4a - 3a) + (10b - 7b) + (c - c) = 105
   a + 3b = 105
Ini adalah persamaan baru yang menghubungkan 'a' dan 'b'.

Langkah 2: Cari cara untuk mendapatkan a + b + c. Kita tidak bisa secara langsung menemukan nilai a, b, dan c dari dua persamaan ini karena ada tiga variabel dan hanya dua persamaan. Namun, kita bisa mencoba memanipulasi persamaan yang ada untuk melihat apakah kita bisa mendapatkan bentuk a + b + c.

Mari kita coba mengalikan persamaan 'a + 3b = 105' dengan suatu konstanta atau menambahkannya dengan persamaan asli. Pendekatan yang lebih umum untuk soal semacam ini adalah mencari kombinasi linear dari persamaan asli yang menghasilkan a + b + c.

Mari kita coba menjumlahkan kedua persamaan asli:
(3a + 7b + c) + (4a + 10b + c) = 315 + 420
7a + 17b + 2c = 735
Ini tidak langsung menghasilkan a + b + c.

Mari kita coba pendekatan lain. Misalkan kita ingin mendapatkan koefisien yang sama untuk a, b, dan c. Kita memiliki:
1a + 3b + 0c = 105 (dari eliminasi)

Jika kita perhatikan persamaan awal, jika kita bisa membuat koefisien a, b, dan c menjadi sama, misalnya 'k', maka jumlahnya akan menjadi k(a+b+c). Namun, sulit untuk mencapai ini.

Mari kita kembali ke persamaan a + 3b = 105. Kita bisa menyatakan 'a' dalam bentuk 'b' atau sebaliknya:
a = 105 - 3b

Substitusikan kembali ke salah satu persamaan asli, misalnya persamaan (1):
3(105 - 3b) + 7b + c = 315
315 - 9b + 7b + c = 315
315 - 2b + c = 315
-2b + c = 0
c = 2b

Sekarang kita punya hubungan antara a, b, dan c:
a = 105 - 3b
c = 2b

Kita bisa substitusikan hubungan ini ke dalam ekspresi a + b + c:
a + b + c = (105 - 3b) + b + (2b)
a + b + c = 105 - 3b + b + 2b
a + b + c = 105 + (-3b + b + 2b)
a + b + c = 105 + 0b
a + b + c = 105

Jadi, nilai dari a + b + c adalah 105.