Diketahui sistem persamaan: (x+3)/2+(y-1)/3+z=5

SPLTV: 3x+2y+6z=23, 14x+9y=-42, 4x-3y+6z=-4. Himpunan penyelesaian: x=-453/79, y=336/79, z=1252/237.

Pembahasan

a. Untuk menyatakan sistem persamaan tersebut dalam sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), kita perlu menghilangkan penyebut dan menyederhanakan setiap persamaan:
Persamaan 1: (x+3)/2 + (y-1)/3 + z = 5
Kalikan kedua sisi dengan 6 (KPK dari 2 dan 3):
3(x+3) + 2(y-1) + 6z = 30
3x + 9 + 2y - 2 + 6z = 30
3x + 2y + 6z = 30 - 9 + 2
3x + 2y + 6z = 23

Persamaan 2: (x+y+8)/5 + (y+2z+6)/4 + (x-z)/2 = 1
Kalikan kedua sisi dengan 20 (KPK dari 5, 4, dan 2):
4(x+y+8) + 5(y+2z+6) + 10(x-z) = 20
4x + 4y + 32 + 5y + 10z + 30 + 10x - 10z = 20
(4x+10x) + (4y+5y) + (10z-10z) = 20 - 32 - 30
14x + 9y = -42

Persamaan 3: 4(x+y) - 7(y-z+1) - (z-2) = 1
4x + 4y - 7y + 7z - 7 - z + 2 = 1
4x + (4y-7y) + (7z-z) = 1 - 7 + 2
4x - 3y + 6z = -4

Jadi, sistem persamaan linear tiga variabelnya adalah:
1) 3x + 2y + 6z = 23
2) 14x + 9y = -42
3) 4x - 3y + 6z = -4

b. Untuk menentukan himpunan penyelesaiannya, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari gunakan eliminasi:
Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (3) untuk mengeliminasi z:
(3x + 2y + 6z) - (4x - 3y + 6z) = 23 - (-4)
3x + 2y + 6z - 4x + 3y - 6z = 23 + 4
-x + 5y = 27

Sekarang kita memiliki sistem persamaan dua variabel:
I) 14x + 9y = -42
II) -x + 5y = 27

Kalikan persamaan (II) dengan 14 untuk mengeliminasi x:
14(-x + 5y) = 14(27)
-14x + 70y = 378

Jumlahkan hasil ini dengan persamaan (I):
(14x + 9y) + (-14x + 70y) = -42 + 378
79y = 336
y = 336 / 79

Substitusikan nilai y ke persamaan (II):
-x + 5(336/79) = 27
-x + 1680/79 = 27
-x = 27 - 1680/79
-x = (27 * 79 - 1680) / 79
-x = (2133 - 1680) / 79
-x = 453 / 79
x = -453 / 79

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (1):
3(-453/79) + 2(336/79) + 6z = 23
-1359/79 + 672/79 + 6z = 23
-687/79 + 6z = 23
6z = 23 + 687/79
6z = (23 * 79 + 687) / 79
6z = (1817 + 687) / 79
6z = 2504 / 79
z = 2504 / (79 * 6)
z = 2504 / 474
z = 1252 / 237

Himpunan penyelesaiannya adalah x = -453/79, y = 336/79, dan z = 1252/237.