Diketahui sistem pertidaksamaan: { y <=-x^(2)+x+12 y >=-x+2

Gambarkan parabola y = -x^2 + x + 12 dan garis y = -x + 2, lalu tentukan daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y <= -x^2 + x + 12 dan y >= -x + 2, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

A. Menggambar grafik y = -x^2 + x + 12 (parabola):
a. Tentukan titik potong dengan sumbu X: Atur y = 0, maka -x^2 + x + 12 = 0. Kalikan -1 menjadi x^2 - x - 12 = 0. Faktorkan menjadi (x - 4)(x + 3) = 0. Jadi, titik potong sumbu X adalah (4, 0) dan (-3, 0).
b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y: Atur x = 0, maka y = -(0)^2 + (0) + 12 = 12. Jadi, titik potong sumbu Y adalah (0, 12).
c. Tentukan titik balik (vertex): Absis titik balik adalah -b/2a = -1/(2*(-1)) = -1/(-2) = 1/2. Ordinat titik balik adalah -(1/2)^2 + (1/2) + 12 = -1/4 + 1/2 + 12 = 1/4 + 12 = 12.25. Jadi, titik baliknya adalah (1/2, 12.25).
d. Buatlah sketsa kurva: Gambarkan parabola terbuka ke bawah melalui titik-titik yang telah ditemukan.

B. Menggambar grafik y = -x + 2 (garis lurus):
Kita bisa menggunakan dua titik untuk menggambar garis ini. Misalnya:
   - Jika x = 0, maka y = -0 + 2 = 2. Titik (0, 2).
   - Jika y = 0, maka 0 = -x + 2, sehingga x = 2. Titik (2, 0).

C. Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian:
1. Untuk pertidaksamaan y <= -x^2 + x + 12, arsir daerah di bawah atau pada kurva parabola karena tandanya '<='.
2. Untuk pertidaksamaan y >= -x + 2, arsir daerah di atas atau pada garis lurus karena tandanya '>='.

D. Uji Titik (jika diperlukan untuk menentukan daerah arsiran):
   - Untuk parabola: Pilih titik uji, misalnya (0, 0). Substitusikan ke pertidaksamaan: 0 <= -(0)^2 + (0) + 12 => 0 <= 12 (Benar). Jadi, daerah yang memenuhi adalah daerah yang mencakup titik (0, 0).
   - Untuk garis: Pilih titik uji, misalnya (0, 0). Substitusikan ke pertidaksamaan: 0 >= -(0) + 2 => 0 >= 2 (Salah). Jadi, daerah yang memenuhi adalah daerah yang tidak mencakup titik (0, 0).

Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir oleh kedua pertidaksamaan tersebut.