Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat

Nilai b adalah 1/5.

Pembahasan

Misalkan barisan geometri adalah \(U_1, U_2, U_3, U_4\) dengan rasio \(r = \frac{1}{2}\).
Misalkan barisan aritmetika adalah \(A_1, A_2, A_3\) dengan beda \(b\).

Diketahui jumlah semua suku barisan geometri adalah 1:
\(U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = 1\)
Ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(U_1\) dan rasio \(r = \frac{1}{2}\).
Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\).
Dalam kasus ini, jumlah 4 suku pertama adalah 1, bukan tak hingga. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\).
Jadi, \(S_4 = \frac{U_1(1 - (1/2)^4)}{1 - 1/2} = 1\).
\(\frac{U_1(1 - 1/16)}{1/2} = 1\)
\(\frac{U_1(15/16)}{1/2} = 1\)
\(U_1 \times \frac{15}{16} \times 2 = 1\)
\(U_1 \times \frac{15}{8} = 1\)
\(U_1 = \frac{8}{15}\)

Suku pertama barisan geometri adalah \(U_1 = \frac{8}{15}\).

Diketahui jumlah semua suku barisan aritmetika adalah 1:
\(A_1 + A_2 + A_3 = 1\)
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)\).
Jadi, \(S_3 = \frac{3}{2}(2A_1 + (3-1)b) = 1\).
\(\frac{3}{2}(2A_1 + 2b) = 1\)
\(3(A_1 + b) = 1\)
\(A_1 + b = \frac{1}{3}\)

Diketahui suku pertama barisan geometri sama dengan suku ketiga barisan aritmetika:
\(U_1 = A_3\)
\(A_3 = A_1 + (3-1)b = A_1 + 2b\)
Jadi, \(\frac{8}{15} = A_1 + 2b\).

Kita punya dua persamaan dengan \(A_1\) dan \(b\):
1) \(A_1 + b = \frac{1}{3}\) => \(A_1 = \frac{1}{3} - b\)
2) \(A_1 + 2b = \frac{8}{15}\)

Substitusikan \(A_1\) dari persamaan (1) ke persamaan (2):
(\(\frac{1}{3} - b\)) + 2b = \(\frac{8}{15}\)
\(\frac{1}{3} + b = \frac{8}{15}\)
\(b = \frac{8}{15} - \frac{1}{3}\)
\(b = \frac{8}{15} - \frac{5}{15}\)
\(b = \frac{3}{15}\)
\(b = \frac{1}{5}\)

Jadi, nilai b adalah \(\frac{1}{5}\).