Diketahui suatu deret bilangan 7 + 10 + 16 + 25 + 37 +...

6233

Pembahasan

Untuk mencari nilai S-23 dari deret 7 + 10 + 16 + 25 + 37 +..., pertama-tama kita perlu mengidentifikasi pola penambahannya. Selisih antar suku berturut-turut adalah: 10 - 7 = 3, 16 - 10 = 6, 25 - 16 = 9, 37 - 25 = 12. Terlihat bahwa selisihnya membentuk barisan aritmetika dengan beda 3 (3, 6, 9, 12, ...). Ini berarti deret tersebut adalah deret tingkat kedua.

Rumus umum untuk suku ke-n dari deret tingkat kedua adalah Un = An^2 + Bn + C.
Untuk mencari A, B, dan C:
2A = beda tingkat kedua = 3 => A = 3/2
3A + B = beda tingkat pertama suku pertama = 3 => 3(3/2) + B = 3 => 9/2 + B = 3 => B = 3 - 9/2 = 6/2 - 9/2 = -3/2
A + B + C = suku pertama = 7 => 3/2 + (-3/2) + C = 7 => C = 7

Maka, rumus suku ke-n adalah Un = (3/2)n^2 - (3/2)n + 7.

Untuk mencari S-23, kita perlu mencari jumlah 23 suku pertama (U1 + U2 + ... + U23).
Rumus jumlah n suku pertama dari deret tingkat kedua adalah Sn = (n/6)(2n^2 + 3n + 1)a + (n/6)(n+1)(n+2)b, di mana a adalah suku pertama dan b adalah beda tingkat pertama.
Namun, lebih mudah menggunakan rumus umum Sn = Σ(An^2 + Bn + C) dari n=1 sampai n=S.
Sn = A Σn^2 + B Σn + C Σ1
Sn = A(n(n+1)(2n+1)/6) + B(n(n+1)/2) + Cn

Dengan n = 23, A = 3/2, B = -3/2, C = 7:
S23 = (3/2) * (23 * 24 * 47 / 6) + (-3/2) * (23 * 24 / 2) + 7 * 23
S23 = (3/2) * (23 * 4 * 47) + (-3/2) * (23 * 12) + 161
S23 = (3/2) * 4324 + (-3/2) * 276 + 161
S23 = 3 * 2162 - 3 * 138 + 161
S23 = 6486 - 414 + 161
S23 = 6072 + 161
S23 = 6233

Jadi, nilai S-23 dari deret tersebut adalah 6233.