Diketahui suku banyak f(x). Jika f(x) dibagi x-2 memberikan

Sisa pembagian f(x) adalah 3x - 2.

Pembahasan

Diketahui suku banyak f(x).
1. f(x) dibagi x-2 memberikan sisa 4. Berdasarkan teorema sisa, ini berarti f(2) = 4.
2. f(x) dibagi 3x+1 memberikan sisa -3. Berdasarkan teorema sisa, ini berarti f(-1/3) = -3.

Kita ingin menentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(3x+1).
Karena pembaginya berderajat 2 (yaitu (x-2)(3x+1) = 3x^2 - 5x - 2), maka sisanya akan berderajat paling tinggi 1. Misalkan sisa pembagiannya adalah S(x) = Ax + B.

Maka, f(x) dapat ditulis sebagai:
f(x) = (x-2)(3x+1) Q(x) + Ax + B, di mana Q(x) adalah hasil bagi.

Substitusikan nilai x=2:
f(2) = (2-2)(3(2)+1) Q(2) + A(2) + B
4 = (0)(7) Q(2) + 2A + B
4 = 0 + 2A + B
2A + B = 4  (Persamaan 1)

Substitusikan nilai x=-1/3:
f(-1/3) = (-1/3 - 2)(3(-1/3)+1) Q(-1/3) + A(-1/3) + B
-3 = (-7/3)(0) Q(-1/3) - A/3 + B
-3 = 0 - A/3 + B
-3 = -A/3 + B  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear dengan dua variabel A dan B:
1) 2A + B = 4
2) -A/3 + B = -3

Untuk menyelesaikan sistem ini, kita bisa kurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2:
(2A + B) - (-A/3 + B) = 4 - (-3)
2A + B + A/3 - B = 4 + 3
2A + A/3 = 7

Untuk menjumlahkan 2A dan A/3, samakan penyebutnya:
(6A/3) + (A/3) = 7
7A/3 = 7

Kalikan kedua sisi dengan 3/7:
A = 7 * (3/7)
A = 3

Sekarang substitusikan nilai A=3 ke dalam Persamaan 1:
2(3) + B = 4
6 + B = 4
B = 4 - 6
B = -2

Jadi, sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(3x+1) adalah S(x) = Ax + B = 3x - 2.