Tentukan (fog)^(-1)(x) dan (gof)^(-1)(x) jika

(fog)^(-1)(x) = (x - 3) / (2x) dan (gof)^(-1)(x) = (5x - 36) / (x - 6).

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = 3/(x-5) dan g(x) = 6 - 2x.
Kita perlu mencari (fog)^(-1)(x) dan (gof)^(-1)(x).

Bagian 1: Mencari (fog)^(-1)(x)
Pertama, kita cari komposisi fungsi fog(x):
fog(x) = f(g(x))
fog(x) = f(6 - 2x)
fog(x) = 3 / ((6 - 2x) - 5)
fog(x) = 3 / (1 - 2x)

Selanjutnya, kita cari invers dari fog(x). Misalkan y = fog(x):
y = 3 / (1 - 2x)
Kita ingin mencari x dalam bentuk y.
Kalikan kedua sisi dengan (1 - 2x):
y(1 - 2x) = 3
y - 2xy = 3

Pindahkan y ke sisi kanan:
-2xy = 3 - y

Bagi kedua sisi dengan -2y:
x = (3 - y) / (-2y)
x = (y - 3) / (2y)

Ganti y dengan x untuk mendapatkan inversnya:
(fog)^(-1)(x) = (x - 3) / (2x)

Bagian 2: Mencari (gof)^(-1)(x)
Pertama, kita cari komposisi fungsi gof(x):
gof(x) = g(f(x))
gof(x) = g(3 / (x - 5))
gof(x) = 6 - 2 * (3 / (x - 5))
gof(x) = 6 - 6 / (x - 5)

Untuk menyederhanakan, samakan penyebutnya:
gof(x) = (6(x - 5) - 6) / (x - 5)
gof(x) = (6x - 30 - 6) / (x - 5)
gof(x) = (6x - 36) / (x - 5)

Selanjutnya, kita cari invers dari gof(x). Misalkan y = gof(x):
y = (6x - 36) / (x - 5)
Kita ingin mencari x dalam bentuk y.
Kalikan kedua sisi dengan (x - 5):
y(x - 5) = 6x - 36
xy - 5y = 6x - 36

Kelompokkan suku-suku yang mengandung x:
xy - 6x = 5y - 36

Faktorkan x:
x(y - 6) = 5y - 36

Bagi kedua sisi dengan (y - 6):
x = (5y - 36) / (y - 6)

Ganti y dengan x untuk mendapatkan inversnya:
(gof)^(-1)(x) = (5x - 36) / (x - 6)

Jadi, jawabannya adalah:
(fog)^(-1)(x) = (x - 3) / (2x)
(gof)^(-1)(x) = (5x - 36) / (x - 6)