Diketahui tabel distribusi kumulatif variabel acak diskrit

k = 13/18

Pembahasan

Diberikan tabel distribusi kumulatif variabel acak diskrit:

X=x | 2 | 3 | 4 | 5
F(x) | k/9 | 11/27 | k/3 | 2k+1/9

Dalam distribusi kumulatif, jumlah total probabilitas (F(x) pada nilai x terbesar) harus sama dengan 1. Namun, tabel yang diberikan tampaknya menyajikan nilai F(x) pada setiap titik, bukan interval kumulatif. Asumsi yang lebih tepat adalah bahwa ini adalah fungsi massa probabilitas kumulatif (CDF), yang berarti F(x) adalah P(X ≤ x).

Untuk CDF, kita tahu bahwa F(x) harus non-decreasing dan F(nilai x terbesar) = 1.
Namun, dari format tabel, tampaknya F(x) yang diberikan adalah nilai probabilitas kumulatif pada titik x tertentu.

Kita tahu bahwa F(5) = 1, karena 5 adalah nilai x terbesar.
Jadi, kita dapat menyamakan ekspresi untuk F(5) dengan 1:
2k + 1/9 = 1

Untuk menyelesaikan k, pertama-tama kita selesaikan 1/9:
2k = 1 - 1/9
2k = 9/9 - 1/9
2k = 8/9

Sekarang, bagi kedua sisi dengan 2:
k = (8/9) / 2
k = 8 / (9 * 2)
k = 8 / 18
k = 4/9

Mari kita periksa apakah nilai k ini konsisten dengan nilai F(x) lainnya.
F(2) = k/9 = (4/9)/9 = 4/81
F(3) = 11/27 = 33/81
F(4) = k/3 = (4/9)/3 = 4/27 = 12/81
F(5) = 2k + 1/9 = 2(4/9) + 1/9 = 8/9 + 1/9 = 9/9 = 1

Namun, ada masalah inkonsistensi jika F(x) adalah CDF karena F(3) = 33/81 dan F(4) = 12/81, yang berarti nilai probabilitas kumulatif menurun, yang tidak mungkin.

Kemungkinan lain adalah bahwa F(x) yang diberikan adalah fungsi massa probabilitas (PMF), bukan CDF. Jika itu PMF, maka jumlah semua P(X=x) harus sama dengan 1.

P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1

Tetapi, jika F(x) adalah PMF, maka kita tidak bisa langsung menyelesaikannya dengan F(5)=1.

Mari kita tinjau ulang interpretasi tabel. Jika F(x) adalah nilai probabilitas kumulatif pada titik x, maka F(x) = P(X ≤ x).

F(2) = P(X ≤ 2) = k/9
F(3) = P(X ≤ 3) = 11/27
F(4) = P(X ≤ 4) = k/3
F(5) = P(X ≤ 5) = 2k+1/9

Kita tahu bahwa P(X=x) = F(x) - F(x-1). Juga F(nilai x terbesar) = 1.

Dari F(5) = 1, kita dapatkan:
2k + 1/9 = 1
2k = 1 - 1/9
2k = 8/9
k = 4/9

Sekarang kita periksa konsistensi dengan F(3) dan F(4):
F(3) = 11/27.
F(4) = k/3 = (4/9)/3 = 4/27.

Ini masih menunjukkan inkonsistensi karena F(3) > F(4) (11/27 > 4/27), yang tidak mungkin untuk fungsi distribusi kumulatif.

Kemungkinan lain dari soal ini adalah bahwa nilai-nilai F(x) tersebut adalah proporsi yang belum dihitung dalam bentuk desimal/pecahan yang sama, dan kita harus mencari k sehingga proporsi kumulatifnya benar.

Jika kita menganggap bahwa baris F(x) mewakili probabilitas kumulatif P(X<=x), maka kita harus memiliki F(5) = 1.
2k + 1/9 = 1
2k = 8/9
k = 4/9

Mari kita cek kembali perhitungan:
F(2) = k/9 = (4/9)/9 = 4/81
F(3) = 11/27 = 33/81
F(4) = k/3 = (4/9)/3 = 4/27 = 12/81
F(5) = 2k + 1/9 = 2(4/9) + 1/9 = 8/9 + 1/9 = 9/9 = 1

Jika F(x) adalah CDF, maka F(2) <= F(3) <= F(4) <= F(5).
4/81 <= 33/81 (benar)
33/81 <= 12/81 (salah)

Ada kemungkinan kesalahan dalam penulisan tabel di soal. Namun, jika kita dipaksa untuk menyelesaikan berdasarkan informasi yang diberikan dan asumsi standar bahwa F(nilai x terbesar)=1, maka nilai k yang paling mungkin didapat dari F(5) adalah 4/9.

Jika kita menganggap bahwa nilai pada baris F(x) adalah probabilitas pada titik x, yaitu P(X=x), maka:
k/9 + 11/27 + k/3 + (2k+1)/9 = 1

Samakan penyebutnya menjadi 27:
3k/27 + 11/27 + 9k/27 + 3(2k+1)/27 = 1

Kalikan semua dengan 27:
3k + 11 + 9k + 3(2k+1) = 27
3k + 11 + 9k + 6k + 3 = 27
18k + 14 = 27
18k = 27 - 14
18k = 13
k = 13/18

Mari kita cek jika interpretasi ini masuk akal:

P(X=2) = k/9 = (13/18)/9 = 13/162
P(X=3) = 11/27 = 66/162
P(X=4) = k/3 = (13/18)/3 = 13/54 = 39/162
P(X=5) = (2k+1)/9 = (2(13/18)+1)/9 = (13/9 + 1)/9 = (22/9)/9 = 22/81 = 44/162

Jumlah = (13 + 66 + 39 + 44) / 162 = 162 / 162 = 1.
Interpretasi ini konsisten. Jadi, nilai k adalah 13/18.

Jawaban ringkas: k = 13/18