Diketahui tiga titik A(-3,1), B(3,1) , dan C(3,4). Ketiga

Luas bangun datar bayangan adalah 9k^2.

Pembahasan

Untuk menentukan luas bangun datar bayangan dari ketiga titik A, B, dan C setelah direfleksikan terhadap garis y=x dan dilanjutkan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Refleksi terhadap garis y=x:**
    Titik A(-3,1) direfleksikan menjadi A'(1,-3).
    Titik B(3,1) direfleksikan menjadi B'(1,3).
    Titik C(3,4) direfleksikan menjadi C'(4,3).

2.  **Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k:**
    Bayangan titik A' adalah A''(k*1, k*(-3)) = A''(k, -3k).
    Bayangan titik B' adalah B''(k*1, k*3) = B''(k, 3k).
    Bayangan titik C' adalah C''(k*4, k*3) = C''(4k, 3k).

3.  **Menentukan jenis bangun datar:**
    Kita dapat menghitung panjang sisi-sisi bangun datar A''B''C'' atau menggunakan vektor untuk menentukan jenis bangunnya.
    Misalkan kita hitung vektornya:
    Vektor A"B" = B'' - A" = (k-k, 3k-(-3k)) = (0, 6k)
    Vektor B"C" = C'' - B'' = (4k-k, 3k-3k) = (3k, 0)
    Vektor A"C" = C'' - A" = (4k-k, 3k-(-3k)) = (3k, 6k)

    Dari vektor B"C" yang tegak lurus dengan sumbu x (komponen y=0) dan vektor A"B" yang tegak lurus dengan sumbu y (komponen x=0), kita dapat menyimpulkan bahwa sudut B" adalah sudut siku-siku (90 derajat). Oleh karena itu, bangun datar A"B"C" adalah segitiga siku-siku.

4.  **Menghitung luas bangun datar:**
    Luas segitiga siku-siku adalah 1/2 * alas * tinggi.
    Kita bisa menggunakan panjang sisi A"B" sebagai tinggi dan panjang sisi B"C" sebagai alas (atau sebaliknya).
    Panjang A"B" = ||(0, 6k)|| = sqrt(0^2 + (6k)^2) = 6|k|
    Panjang B"C" = ||(3k, 0)|| = sqrt((3k)^2 + 0^2) = 3|k|

    Luas = 1/2 * panjang B"C" * panjang A"B"
    Luas = 1/2 * (3|k|) * (6|k|)
    Luas = 1/2 * 18 * k^2
    Luas = 9k^2

    Jadi, luas bangun datar yang merupakan bayangan dari ketiga titik A, B, dan C adalah 9k^2 satuan luas.