Diketahui titik (p, q). Tentukan hasil pencerminan titik:

Pencerminan titik (p, q) oleh garis y=x dilanjutkan oleh garis x=1 menghasilkan titik (2-q, p). Kesimpulannya, kedua urutan pencerminan (y=x lalu x=1, dan y=1 lalu y=x) menghasilkan transformasi yang sama, yaitu rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat di (1,1).

Pembahasan

a. Pencerminan titik (p, q) oleh garis y=x menghasilkan titik (q, p).
b. Pencerminan titik (q, p) oleh garis x=1 menghasilkan titik (2*1 - q, p) = (2 - q, p).

Analisis kesimpulan:
Pencerminan berurutan oleh garis y=x dan kemudian oleh garis x=1 setara dengan transformasi tunggal yang memutar titik (p, q) sebesar 90 derajat searah jarum jam dan kemudian digeser (translasi) sejauh 1 satuan ke kanan.

Secara matematis, jika kita memiliki titik awal (p, q), hasil pencerminan terhadap y=x adalah (q, p). Selanjutnya, mencerminkan (q, p) terhadap garis x=1 akan menghasilkan (2(1) - q, p) = (2-q, p).

Transformasi yang dapat menggantikan kedua pencerminan berurutan ini adalah rotasi sebesar 90 derajat searah jarum jam dengan pusat di (1, 0), diikuti dengan translasi oleh vektor [0, 0].

Atau, jika kita hanya mempertimbangkan efeknya terhadap koordinat, rotasi 90 derajat searah jarum jam mengubah (p, q) menjadi (q, -p). Ini tidak sama persis dengan hasil (2-q, p). Namun, ada hubungan yang lebih kompleks. Perlu dicatat bahwa komposisi dua refleksi terhadap garis-garis yang berpotongan menghasilkan rotasi. Garis y=x dan x=1 berpotongan di (1,1). Sudut antara kedua garis ini adalah 45 derajat. Oleh karena itu, komposisi refleksi ini adalah rotasi sebesar 2 * 45 = 90 derajat berpusat di titik potong (1,1).

Mari kita cek kembali: Titik (p, q). Refleksi terhadap y=x menjadi (q, p). Refleksi (q, p) terhadap x=1 menjadi (2-q, p).

Sekarang mari kita lakukan rotasi 90 derajat searah jarum jam berpusat di (1,1). Titik (p, q) diubah menjadi (p', q') di mana:
p' - 1 = (p - 1)cos(-90) - (q - 1)sin(-90) = (p - 1)(0) - (q - 1)(-1) = q - 1
p' = q
q' - 1 = (p - 1)sin(-90) + (q - 1)cos(-90) = (p - 1)(-1) + (q - 1)(0) = -(p - 1) = 1 - p
q' = 1 + 1 - p = 2 - p
Hasilnya adalah (q, 2-p). Ini juga tidak sama.

Kesimpulan yang lebih tepat adalah bahwa komposisi dua refleksi terhadap garis-garis yang berpotongan adalah sebuah rotasi yang berpusat di titik potong kedua garis, dengan besarnya sudut rotasi sama dengan dua kali sudut antara kedua garis tersebut. Dalam kasus ini, garis y=x dan x=1 berpotongan di (1,1). Sudut antara y=x dan garis vertikal x=1 adalah 45 derajat. Jadi, komposisi kedua refleksi ini adalah rotasi sebesar 90 derajat berpusat di (1,1).

Mari kita uji dengan titik (2,3).
Refleksi (2,3) terhadap y=x adalah (3,2).
Refleksi (3,2) terhadap x=1 adalah (2*1 - 3, 2) = (-1, 2).

Sekarang rotasi 90 derajat searah jarum jam berpusat di (1,1).
Titik (2,3) berpusat di (1,1) menjadi (2-1, 3-1) = (1,2).
Rotasi (1,2) sebesar 90 derajat searah jarum jam menjadi (2, -1).
Translasi kembali dengan pusat (1,1) menjadi (2+1, -1+1) = (3, 0). Ini juga tidak sama.

Mari kita periksa lagi instruksi dan hasil awal:
a. (p, q) oleh y=x menjadi (q, p).
b. (q, p) oleh x=1 menjadi (2-q, p).
c. (p, q) oleh y=1 menjadi (p, 2-q).
d. (p, 2-q) oleh y=x menjadi (2-q, p).

Kesimpulan:
Hasil pada (b) dan (d) adalah sama, yaitu (2-q, p).

Transformasi yang dapat mengganti kedua pencerminan berurutan tersebut:
Untuk bagian (b), pencerminan berurutan adalah: (p, q) -> (q, p) -> (2-q, p).
Untuk bagian (d), pencerminan berurutan adalah: (p, q) -> (p, 2-q) -> (2-q, p).

Kedua urutan pencerminan menghasilkan transformasi yang sama: T(p, q) = (2-q, p).
Ini adalah sebuah rotasi yang dikombinasikan dengan translasi.

Untuk menemukan transformasi tunggalnya, kita dapat menganalisis bagaimana koordinat berubah.

Ini adalah komposisi dari dua refleksi. Komposisi dua refleksi terhadap garis-garis yang berpotongan adalah sebuah rotasi.
Garis y=x dan garis x=1 berpotongan di (1,1).
Sudut antara y=x dan x=1 adalah 45 derajat.
Jadi, komposisi refleksi ini adalah rotasi sebesar 2 * 45 = 90 derajat.

Titik (p, q) ditranslasikan sehingga pusat rotasi (1,1) menjadi titik asal: (p-1, q-1).
Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam (umumnya yang dimaksud dengan rotasi positif jika tidak disebutkan arahnya) akan mengubah (x,y) menjadi (-y,x).
Jadi, (p-1, q-1) menjadi -(q-1), p-1 = (1-q, p-1).
Kemudian translasi kembali ke pusat semula: (1-q+1, p-1+1) = (2-q, p).

Hasil ini sesuai dengan hasil (b) dan (d).

Jadi, transformasi yang dapat mengganti kedua pencerminan berurutan tersebut adalah rotasi sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di (1,1).