Diketahui vektor a=(2 1 x) dan b=(-1 3 -2) Besar sudut

Nilai x adalah -3.

Pembahasan

Diketahui vektor a = (2, 1, x) dan vektor b = (-1, 3, -2). Besar sudut antara kedua vektor adalah π/3 (atau 60 derajat). Rumus untuk menghitung sudut antara dua vektor adalah cos θ = (a · b) / (|a| |b|). Pertama, kita hitung hasil kali titik (dot product) a · b: a · b = (2)(-1) + (1)(3) + (x)(-2) = -2 + 3 - 2x = 1 - 2x. Selanjutnya, kita hitung besar (magnitudo) dari masing-masing vektor: |a| = sqrt(2^2 + 1^2 + x^2) = sqrt(4 + 1 + x^2) = sqrt(5 + x^2). |b| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 9 + 4) = sqrt(14). Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus sudut: cos(π/3) = (1 - 2x) / (sqrt(5 + x^2) * sqrt(14)). Kita tahu bahwa cos(π/3) = 1/2. Jadi, 1/2 = (1 - 2x) / (sqrt(14(5 + x^2))). Kuadratkan kedua sisi: (1/2)^2 = (1 - 2x)^2 / (14(5 + x^2)). 1/4 = (1 - 4x + 4x^2) / (70 + 14x^2). Kalikan silang: 70 + 14x^2 = 4(1 - 4x + 4x^2). 70 + 14x^2 = 4 - 16x + 16x^2. Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat: 16x^2 - 14x^2 - 16x + 4 - 70 = 0. 2x^2 - 16x - 66 = 0. Bagi seluruh persamaan dengan 2: x^2 - 8x - 33 = 0. Faktorkan persamaan kuadrat ini: (x - 11)(x + 3) = 0. Jadi, solusi yang mungkin adalah x = 11 atau x = -3. Kita perlu memeriksa kedua nilai ini. Jika x = 11, a = (2, 1, 11). a · b = 1 - 2(11) = 1 - 22 = -21. |a| = sqrt(5 + 11^2) = sqrt(5 + 121) = sqrt(126). cos θ = -21 / (sqrt(126) * sqrt(14)) = -21 / sqrt(1764) = -21 / 42 = -1/2. Ini tidak sama dengan 1/2. Jika x = -3, a = (2, 1, -3). a · b = 1 - 2(-3) = 1 + 6 = 7. |a| = sqrt(5 + (-3)^2) = sqrt(5 + 9) = sqrt(14). cos θ = 7 / (sqrt(14) * sqrt(14)) = 7 / 14 = 1/2. Ini sesuai dengan cos(π/3). Jadi, nilai x adalah -3.