Diketahui vektor a dan vektor b adalah dua buah vektor yang

Karena a tegak lurus b, a · b = 0. Maka |a-b|^2 = |a|^2 - 2(a·b) + |b|^2 = |a|^2 + |b|^2, dan |a+b|^2 = |a|^2 + 2(a·b) + |b|^2 = |a|^2 + |b|^2. Jadi, |a-b| = |a+b|.

Pembahasan

Jika vektor a tegak lurus vektor b, maka hasil kali titik (dot product) kedua vektor tersebut adalah nol, yaitu a · b = 0.

Kita akan membuktikan identitas |vektor a - vektor b| = |vektor a + vektor b|.

Kuadratkan kedua sisi persamaan:
|vektor a - vektor b|^2 = (vektor a - vektor b) · (vektor a - vektor b)
= vektor a · vektor a - 2(vektor a · vektor b) + vektor b · vektor b
= |vektor a|^2 - 2(vektor a · vektor b) + |vektor b|^2

Karena vektor a tegak lurus vektor b, maka a · b = 0. Sehingga,
|vektor a - vektor b|^2 = |vektor a|^2 - 2(0) + |vektor b|^2
|vektor a - vektor b|^2 = |vektor a|^2 + |vektor b|^2

Sekarang, kuadratkan sisi kanan persamaan:
|vektor a + vektor b|^2 = (vektor a + vektor b) · (vektor a + vektor b)
= vektor a · vektor a + 2(vektor a · vektor b) + vektor b · vektor b
= |vektor a|^2 + 2(vektor a · vektor b) + |vektor b|^2

Karena vektor a tegak lurus vektor b, maka a · b = 0. Sehingga,
|vektor a + vektor b|^2 = |vektor a|^2 + 2(0) + |vektor b|^2
|vektor a + vektor b|^2 = |vektor a|^2 + |vektor b|^2

Karena kedua sisi memiliki hasil yang sama (|vektor a|^2 + |vektor b|^2), maka terbukti bahwa |vektor a - vektor b| = |vektor a + vektor b|.