Penyelesaian dari pertidaksamaan: (1 + (4/2logx -3))/(2log

0 < x < 1/2 atau 2 < x < 8

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{1 + \frac{4}{^2\log x - 3}}{^2\log x - 1} < 0$.

Misalkan $y = ^2\log x$. Maka pertidaksamaannya menjadi:
$\frac{1 + \frac{4}{y - 3}}{y - 1} < 0$
Sederhanakan pembilangnya:
$\frac{\frac{y - 3 + 4}{y - 3}}{y - 1} < 0$
$\frac{\frac{y + 1}{y - 3}}{y - 1} < 0$
$\frac{y + 1}{(y - 3)(y - 1)} < 0$

Sekarang kita cari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut:
Pembilang: $y + 1 = 0 \implies y = -1$
Penyebut: $y - 3 = 0 \implies y = 3$ dan $y - 1 = 0 \implies y = 1$.

Kita uji interval untuk $y$:
1. $y < -1$: Pilih $y = -2$. $\frac{-2 + 1}{(-2 - 3)(-2 - 1)} = \frac{-1}{(-5)(-3)} = \frac{-1}{15} < 0$. (Memenuhi)
2. $-1 < y < 1$: Pilih $y = 0$. $\frac{0 + 1}{(0 - 3)(0 - 1)} = \frac{1}{(-3)(-1)} = \frac{1}{3} > 0$. (Tidak memenuhi)
3. $1 < y < 3$: Pilih $y = 2$. $\frac{2 + 1}{(2 - 3)(2 - 1)} = \frac{3}{(-1)(1)} = \frac{3}{-1} = -3 < 0$. (Memenuhi)
4. $y > 3$: Pilih $y = 4$. $\frac{4 + 1}{(4 - 3)(4 - 1)} = \frac{5}{(1)(3)} = \frac{5}{3} > 0$. (Tidak memenuhi)

Jadi, solusi untuk $y$ adalah $y < -1$ atau $1 < y < 3$.

Sekarang kembalikan ke $y = ^2\log x$:
Kasus 1: $y < -1$
$^2\log x < -1$
$x < 2^{-1}$
$x < \frac{1}{2}$

Kasus 2: $1 < y < 3$
$1 < ^2\log x < 3$
$2^1 < x < 2^3$
$2 < x < 8$

Selain itu, kita perlu memperhatikan syarat domain dari logaritma, yaitu $x > 0$, dan syarat penyebut tidak nol ($^2\log x - 1 \neq 0 \implies ^2\log x \neq 1 \implies x \neq 2$).

Menggabungkan semua syarat:
Dari $x < \frac{1}{2}$ dan $x > 0$, kita dapatkan $0 < x < \frac{1}{2}$.
Dari $2 < x < 8$ dan $x \neq 2$, kita dapatkan $2 < x < 8$.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $0 < x < \frac{1}{2}$ atau $2 < x < 8$.