Diketahui vektor vektor u=ai-12j+bk dan vektor vektor

a = -2√14

Pembahasan

Diketahui vektor u = ai - 12j + bk dan vektor v = -bi + aj + ak.
Sudut antara u dan v adalah θ dengan cos θ = √3 / 4.
Proyeksi vektor u pada v adalah p = 4i - 4j - 4k.

Rumus proyeksi vektor u pada v adalah:
p = ((u · v) / |v|^2) * v

Kita tahu p = 4i - 4j - 4k. Vektor p ini haruslah sejajar dengan vektor v, artinya p = k * v untuk suatu skalar k.
4i - 4j - 4k = k * (-bi + aj + ak)
Dari komponen i: 4 = k * (-b)
Dari komponen j: -4 = k * a
Dari komponen k: -4 = k * a

Dari persamaan komponen j dan k, kita dapatkan -4 = ka.
Dari persamaan komponen i, kita dapatkan 4 = -kb.

Sekarang kita hitung dot product u · v:
u · v = (a)(-b) + (-12)(a) + (b)(a)
u · v = -ab - 12a + ab
u · v = -12a

Hitung kuadrat panjang vektor v:
|v|^2 = (-b)^2 + a^2 + a^2
|v|^2 = b^2 + 2a^2

Substitusikan ke rumus proyeksi:
p = ((-12a) / (b^2 + 2a^2)) * v

Kita juga tahu dari perbandingan komponen bahwa:
Dari komponen j: -4 = k * a  => k = -4/a
Dari komponen i: 4 = k * (-b) => 4 = (-4/a) * (-b) => 4 = 4b/a => a = b

Karena a = b, maka:
|v|^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2

Sekarang kita bisa kembali ke rumus proyeksi:
p = ((-12a) / (3a^2)) * v
p = (-4/a) * v

Kita juga tahu bahwa cos θ = (u · v) / (|u| |v|).
cos θ = √3 / 4
u · v = -12a
|v| = sqrt(b^2 + 2a^2) = sqrt(a^2 + 2a^2) = sqrt(3a^2) = a√3 (asumsi a > 0)

Untuk mendapatkan nilai a, kita bisa gunakan informasi bahwa p = 4i - 4j - 4k dan v = -bi + aj + ak = -ai + a j + a k (karena b=a).
Kita punya k = -4/a.
Karena p = k * v:
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (-ai + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (4i - 4j - 4k) * (a/a)
Ini tidak memberikan informasi baru.

Mari gunakan cos θ:
cos θ = (u · v) / (|u| |v|)
√3 / 4 = (-12a) / (|u| * a√3)
√3 / 4 = (-12) / (|u| √3)
|u| √3 * √3 = -12 * 4
|u| * 3 = -48
|u| = -16
Panjang vektor tidak bisa negatif, ini menunjukkan ada kesalahan dalam asumsi atau soal. Mari kita periksa kembali.

Kita tahu p = 4i - 4j - 4k. Dan p = ((u · v) / |v|^2) * v.
Ini berarti v haruslah kelipatan dari p. Misalkan v = c * p untuk suatu skalar c.
-bi + aj + ak = c * (4i - 4j - 4k)
Dari komponen i: -b = 4c
Dari komponen j: a = -4c
Dari komponen k: a = -4c
Ini konsisten.
Dari a = -4c, maka c = -a/4.
Substitusikan c ke -b = 4c:
-b = 4 * (-a/4)
-b = -a
b = a

Ini konsisten dengan apa yang kita temukan sebelumnya.
Sekarang, kita gunakan cos θ:
cos θ = (u · v) / (|u| |v|)
√3 / 4 = (-12a) / (|u| |v|)

Kita tahu v = c * p = (-a/4) * (4i - 4j - 4k) = -ai + aj + ak. Ini sesuai dengan definisi v.
|v|^2 = (-a)^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 => |v| = a√3 (jika a>0).

u = ai - 12j + bk = ai - 12j + ak
|u|^2 = a^2 + (-12)^2 + a^2 = 2a^2 + 144

cos θ = (u · v) / (|u| |v|)
√3 / 4 = (-12a) / (sqrt(2a^2 + 144) * a√3)
√3 / 4 = (-12) / (sqrt(2a^2 + 144) * √3)
(√3 * √3) / 4 = -12 / sqrt(2a^2 + 144)
3 / 4 = -12 / sqrt(2a^2 + 144)
Ini tidak mungkin karena ruas kiri positif dan ruas kanan negatif.

Mari kita periksa kembali soal atau interpretasi proyeksi.
Proyeksi vektor u pada vektor v adalah vektor p. Rumusnya adalah proj_v u = ((u.v)/|v|^2)v.
Kita memiliki p = 4i - 4j - 4k.
Kita tahu v = -bi + aj + ak.
Kita tahu u = ai - 12j + bk.

Kita juga tahu bahwa vektor p sejajar dengan v, jadi v = m * p untuk suatu skalar m.
-bi + aj + ak = m(4i - 4j - 4k)
-b = 4m
a = -4m
a = -4m
Dari sini kita dapatkan a = -4m dan b = -4m. Jadi a = b.

Sekarang kita gunakan cos θ = (u·v) / (|u||v|).
u·v = (a)(-b) + (-12)(a) + (b)(a) = -ab - 12a + ab = -12a.
|v|^2 = (-b)^2 + a^2 + a^2 = b^2 + 2a^2.
Karena a = b, maka |v|^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2.
|v| = a√3 (asumsi a > 0).

|u|^2 = a^2 + (-12)^2 + b^2 = a^2 + 144 + a^2 = 2a^2 + 144.

cos θ = (u·v) / (|u||v|)
√3 / 4 = (-12a) / (sqrt(2a^2 + 144) * a√3)
√3 / 4 = -12 / (sqrt(2a^2 + 144) * √3)

Kalikan kedua sisi dengan 4 * sqrt(2a^2 + 144) * √3:
√3 * sqrt(2a^2 + 144) * √3 = -12 * 4
3 * sqrt(2a^2 + 144) = -48
sqrt(2a^2 + 144) = -16
Ini masih menghasilkan akar kuadrat yang sama dengan -16, yang tidak mungkin.

Mari kita periksa apakah p adalah proyeksi skalar atau vektor.
Pernyataan "proyeksi vektor u pada vektor v adalah vektor p" berarti p adalah vektor proyeksi. 
p = ((u·v)/|v|^2)v
Kita punya v = -bi + aj + ak.
Kita punya p = 4i - 4j - 4k.
Karena p adalah kelipatan dari v, v = k * p.
-bi + aj + ak = k(4i - 4j - 4k)
-b = 4k
a = -4k
a = -4k
Ini berarti a = b.

Sekarang kita gunakan cos θ.
cos θ = √3 / 4.
u·v = -12a.
|v|^2 = 3a^2.
|u|^2 = 2a^2 + 144.

(u·v) = |u||v|cos θ
-12a = sqrt(2a^2 + 144) * (a√3) * (√3 / 4)
-12a = sqrt(2a^2 + 144) * a * 3 / 4
Bagi kedua sisi dengan a (asumsi a ≠ 0):
-12 = sqrt(2a^2 + 144) * 3 / 4
Kalikan kedua sisi dengan 4/3:
-12 * (4/3) = sqrt(2a^2 + 144)
-16 = sqrt(2a^2 + 144)
Ini masih menghasilkan hasil yang sama.

Ada kemungkinan bahwa arah vektor v berlawanan dengan arah proyeksi p, atau ada kesalahan dalam soal.
Jika kita lihat p = 4i - 4j - 4k, dan v = -bi + aj + ak, dan a=b.
Jadi v = -ai + aj + ak.
Jika p = ((u·v)/|v|^2)v, maka (u·v)/|v|^2 haruslah positif agar arah p sama dengan arah v.
Namun, u·v = -12a.
|v|^2 = 3a^2.
Jadi, (u·v)/|v|^2 = -12a / 3a^2 = -4/a.
Jika a positif, maka faktornya negatif, artinya arah v berlawanan dengan arah proyeksi.
Jika a negatif, maka faktornya positif.

Mari kita asumsikan a > 0. Maka vektor v = -ai + aj + ak. Proyeksi p = ((u·v)/|v|^2)v.
Kita punya p = 4i - 4j - 4k. Maka v = k * p. Seharusnya k positif jika arah sama.
Namun, kita temukan a=b. v = -ai + aj + ak.
Jika kita set v = -4i + 4j + 4k (berlawanan arah dengan p), maka -b = -4, a = 4, a = 4. Jadi b = 4, a = 4.
Jika a=4, b=4:
u = 4i - 12j + 4k
v = -4i + 4j + 4k
u·v = (4)(-4) + (-12)(4) + (4)(4) = -16 - 48 + 16 = -48.
|v|^2 = (-4)^2 + 4^2 + 4^2 = 16 + 16 + 16 = 48.
|v| = sqrt(48) = 4√3.
|u|^2 = 4^2 + (-12)^2 + 4^2 = 16 + 144 + 16 = 176.
|u| = sqrt(176) = sqrt(16 * 11) = 4√11.

cos θ = (u·v) / (|u||v|) = -48 / (4√11 * 4√3) = -48 / (16√33) = -3 / √33 = -3√33 / 33 = -√33 / 11.
Ini tidak sama dengan √3 / 4.

Mari kita periksa penggunaan cos θ dengan informasi proyeksi.
Proyeksi vektor u pada v adalah proj_v u = ((u · v) / |v|) * (v / |v|). Ini adalah panjang proyeksi dikali vektor satuan.
Atau, proyeksi skalar u pada v adalah comp_v u = (u · v) / |v|.

Kita diberikan proyeksi vektor u pada v adalah p = 4i - 4j - 4k.
Ini berarti p = (comp_v u) * (v / |v|).
p = ((u·v) / |v|) * (v / |v|) = ((u·v) / |v|^2) * v.

Kita punya v = -bi + aj + ak, dan a = b.
v = -ai + aj + ak.
p = 4i - 4j - 4k.
Karena p = ((u·v)/|v|^2)v, maka p harus sejajar dengan v. Ini berarti v harus kelipatan dari p.
Misalkan v = m * p.
-ai + aj + ak = m(4i - 4j - 4k)
-a = 4m
a = -4m
a = -4m
Ini konsisten, dan kita dapatkan a = -b.

Sekarang kita hitung u·v:
u = ai - 12j + bk
v = -bi + aj + ak
u·v = (a)(-b) + (-12)(a) + (b)(a) = -ab - 12a + ab = -12a.

|v|^2 = (-b)^2 + a^2 + a^2 = b^2 + 2a^2.
Karena a = -b, maka b = -a.
|v|^2 = (-a)^2 + 2a^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2.

Jadi, p = ((-12a) / (3a^2)) * v
p = (-4/a) * v
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (-bi + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (-(-a)i + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (ai + aj + ak)
4i - 4j - 4k = -4i - 4j - 4k
Ini menyiratkan 4 = -4, yang salah.

Mari kita coba lagi dengan v = m * p.
Jika p = 4i - 4j - 4k, maka v bisa 4i - 4j - 4k, atau -4i + 4j + 4k, atau kelipatan lainnya.
Misalkan v = 4i - 4j - 4k (m=1).
Ini berarti -b = 4, a = -4, a = -4. Jadi b = -4, a = -4.

u = ai - 12j + bk = -4i - 12j - 4k
v = -bi + aj + ak = -(-4)i + (-4)j + (-4)k = 4i - 4j - 4k.

Periksa cos θ:
u·v = (-4)(4) + (-12)(-4) + (-4)(-4) = -16 + 48 + 16 = 48.
|v|^2 = 4^2 + (-4)^2 + (-4)^2 = 16 + 16 + 16 = 48.
|v| = √48 = 4√3.
|u|^2 = (-4)^2 + (-12)^2 + (-4)^2 = 16 + 144 + 16 = 176.
|u| = √176 = 4√11.

cos θ = (u·v) / (|u||v|) = 48 / (4√11 * 4√3) = 48 / (16√33) = 3 / √33 = 3√33 / 33 = √33 / 11.
Ini juga tidak sama dengan √3 / 4.

Mari kita cek jika v = -4i + 4j + 4k (m=-1).
Ini berarti -b = -4, a = 4, a = 4. Jadi b = 4, a = 4.

u = ai - 12j + bk = 4i - 12j + 4k
v = -bi + aj + ak = -4i + 4j + 4k.

Periksa cos θ:
u·v = (4)(-4) + (-12)(4) + (4)(4) = -16 - 48 + 16 = -48.
|v|^2 = (-4)^2 + 4^2 + 4^2 = 16 + 16 + 16 = 48.
|v| = 4√3.
|u|^2 = 4^2 + (-12)^2 + 4^2 = 16 + 144 + 16 = 176.
|u| = 4√11.

cos θ = (u·v) / (|u||v|) = -48 / (4√11 * 4√3) = -48 / (16√33) = -3 / √33 = -√33 / 11.
Ini juga tidak sama.

Ada kemungkinan soal mengenai proyeksi skalar, atau ada kesalahan ketik.
Asumsikan bahwa cos θ = √3 / 4 adalah benar.
Kita memiliki u·v = -12a dan |v|^2 = 3a^2 (dengan asumsi a=b).
Dan p = (u·v)/|v|^2 * v.
p = (-12a)/(3a^2) * v = (-4/a) * v.
Jika p = 4i - 4j - 4k, maka v harus kelipatan dari p.
Misalkan v = k * p.
-bi + aj + ak = k * (4i - 4j - 4k).
-b = 4k, a = -4k, a = -4k.
Jadi a = b.

Dari p = (-4/a) * v:
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (-ai + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (16/a)i - (16/a)j - (16/a)k

Samakan komponen:
4 = 16/a => a = 16/4 = 4.
-4 = -16/a => a = -16/-4 = 4.
-4 = -16/a => a = -16/-4 = 4.

Jadi, nilai a = 4.
Mari kita verifikasi dengan cos θ.
Jika a = 4, maka b = 4.
u = 4i - 12j + 4k
v = -4i + 4j + 4k
u·v = -16 - 48 + 16 = -48.
|v|^2 = 16 + 16 + 16 = 48.
|u|^2 = 16 + 144 + 16 = 176.

cos θ = (u·v) / (|u||v|) = -48 / (sqrt(176) * sqrt(48))
cos θ = -48 / (4√11 * 4√3) = -48 / (16√33) = -3/√33 = -√33/11.

Masih belum cocok dengan cos θ = √3 / 4.

Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau interpretasi. Namun, berdasarkan konsistensi dari rumus proyeksi vektor p = ((u·v)/|v|^2)v dan hubungan antara v dan p, kita dapatkan a=4.

Mari kita cek kembali definisi proyeksi vektor.
Proyeksi vektor u pada v adalah p.
p = (u · v / |v|^2) * v.
Kita punya p = 4i - 4j - 4k. Dan v = -bi + aj + ak.
Karena p adalah kelipatan dari v, maka v harus kelipatan dari p.
Misalkan v = c * p.
-bi + aj + ak = c * (4i - 4j - 4k)
-b = 4c
a = -4c
a = -4c
Ini memberikan a = -b.

Sekarang, p = (u · v / |v|^2) * v.
Di sini, (u · v / |v|^2) adalah skalar.
Kita tahu u · v = -12a.
|v|^2 = b^2 + 2a^2.
Karena b = -a, |v|^2 = (-a)^2 + 2a^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2.

Jadi, p = (-12a / 3a^2) * v = (-4/a) * v.
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (-bi + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (-(-a)i + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (ai + aj + ak)
4i - 4j - 4k = (-4i) - (4j) - (4k)
Samakan komponen:
4 = -4 (komponen i)
-4 = -4 (komponen j)
-4 = -4 (komponen k)

Ini menunjukkan kontradiksi pada komponen i.

Mari kita perhatikan kembali informasi:
cos θ = √3 / 4
u · v = -12a
|v|^2 = b^2 + 2a^2
|u|^2 = a^2 + 144 + b^2

Jika kita gunakan cos θ = (u·v) / (|u||v|):
(√3 / 4)^2 = (-12a)^2 / (|u|^2 |v|^2)
3 / 16 = 144a^2 / ((a^2 + 144 + b^2)(b^2 + 2a^2))

Dan dari proyeksi p = 4i - 4j - 4k.
Kita tahu p sejajar v.
Jadi v = k * p.
-bi + aj + ak = k * (4i - 4j - 4k)
-b = 4k
a = -4k
a = -4k
Ini memberikan a = -b.

Substitusikan a = -b ke persamaan cos θ:
3 / 16 = 144a^2 / ((a^2 + 144 + (-a)^2)((-a)^2 + 2a^2))
3 / 16 = 144a^2 / ((2a^2 + 144)(3a^2))
3 / 16 = 144a^2 / (3a^2(2a^2 + 144))
3 / 16 = 48 / (2a^2 + 144)
3 * (2a^2 + 144) = 16 * 48
6a^2 + 432 = 768
6a^2 = 768 - 432
6a^2 = 336
a^2 = 336 / 6
a^2 = 56
a = ±√56 = ±2√14.

Dengan menggunakan a = 2√14 (atau -2√14) dan b = -a, kita bisa memverifikasi.
Jika a = 2√14, b = -2√14.

u = 2√14 i - 12 j - 2√14 k
v = -(-2√14)i + (2√14)j + (2√14)k = 2√14 i + 2√14 j + 2√14 k.

u · v = (2√14)(2√14) + (-12)(2√14) + (-2√14)(2√14)
      = 4 * 14 - 24√14 - 4 * 14
      = 56 - 24√14 - 56 = -24√14.

|v|^2 = (2√14)^2 + (2√14)^2 + (2√14)^2 = 3 * (4 * 14) = 3 * 56 = 168.
|v| = √168 = √4 * 42 = 2√42.

|u|^2 = (2√14)^2 + (-12)^2 + (-2√14)^2 = 56 + 144 + 56 = 256.
|u| = √256 = 16.

cos θ = (u·v) / (|u||v|) = -24√14 / (16 * 2√42)
      = -24√14 / (32√14 * √3)
      = -24 / (32√3)
      = -3 / (4√3)
      = -3√3 / (4 * 3)
      = -√3 / 4.

Hasilnya negatif, sedangkan cos θ positif. Ini berarti ada kesalahan dalam asumsi atau soal.
Namun, jika kita mengabaikan tanda negatif pada cos θ, maka nilai a = 2√14 atau -2√14 adalah kemungkinan jawabannya.

Mari kita pertimbangkan lagi proyeksi: p = ((u·v)/|v|^2)v.
Kita punya v = -bi + aj + ak dan a=-b.
v = ai - aj + ak.
Kita punya p = 4i - 4j - 4k.
Jika p = k*v, maka
4i - 4j - 4k = k(ai - aj + ak).
4 = ka
-4 = -ka => 4 = ka
-4 = ka
Ini konsisten. k = 4/a.

Sekarang, p = (u·v)/|v|^2 * v.
Kita tahu u·v = -12a.
|v|^2 = a^2 + (-a)^2 + a^2 = 3a^2.

p = (-12a / 3a^2) * v = (-4/a) * v.
4i - 4j - 4k = (-4/a) * (ai - aj + ak)
4i - 4j - 4k = (-4)i + (4)j - (4)k.

Samakan komponen i: 4 = -4 (Kontradiksi).

Ada kemungkinan bahwa v = -p atau v = c*(-p).
Jika v = c*(-p) = c*(-4i + 4j + 4k).
-bi + aj + ak = c*(-4i + 4j + 4k)
-b = -4c
a = 4c
a = 4c
Ini memberikan a = b.

Sekarang gunakan cos θ:
3/16 = 144a^2 / ((a^2 + 144 + a^2)(a^2 + 2a^2))
3/16 = 144a^2 / ((2a^2 + 144)(3a^2))
3/16 = 48 / (2a^2 + 144)
6a^2 + 432 = 16 * 48 = 768
6a^2 = 336
a^2 = 56
a = ±√56 = ±2√14.

Jika a = 2√14, b = 2√14.
u = 2√14 i - 12 j + 2√14 k
v = -2√14 i + 2√14 j + 2√14 k.
u·v = (2√14)(-2√14) + (-12)(2√14) + (2√14)(2√14)
      = -56 - 24√14 + 56 = -24√14.
Ini masih menghasilkan dot product negatif.

Periksa lagi: cos θ = √3 / 4. Ini positif, jadi u·v harus positif jika |u| dan |v| positif.
Namun, u·v = -12a.
Agar u·v positif, a harus negatif.

Misalkan a = -2√14. Maka b = -2√14.
u = -2√14 i - 12 j - 2√14 k
v = -(-2√14)i + (-2√14)j + (-2√14)k = 2√14 i - 2√14 j - 2√14 k.

u·v = (-2√14)(2√14) + (-12)(-2√14) + (-2√14)(-2√14)
      = -56 + 24√14 + 56 = 24√14.
Ini positif.

|v|^2 = (2√14)^2 + (-2√14)^2 + (-2√14)^2 = 56 + 56 + 56 = 168.
|v| = √168 = 2√42.

|u|^2 = (-2√14)^2 + (-12)^2 + (-2√14)^2 = 56 + 144 + 56 = 256.
|u| = 16.

cos θ = (u·v) / (|u||v|) = 24√14 / (16 * 2√42)
      = 24√14 / (32√14 * √3)
      = 24 / (32√3)
      = 3 / (4√3)
      = 3√3 / (4 * 3)
      = √3 / 4.

Ini cocok dengan cos θ yang diberikan.
Jadi, nilai a adalah -2√14.

Periksa proyeksi p = ((u·v)/|v|^2)v.
p = (24√14 / 168) * v
p = (√14 / 7) * v
p = (√14 / 7) * (2√14 i - 2√14 j - 2√14 k)
p = (2 * 14 / 7) i - (2 * 14 / 7) j - (2 * 14 / 7) k
p = (28/7)i - (28/7)j - (28/7)k
p = 4i - 4j - 4k.

Ini cocok dengan proyeksi vektor p yang diberikan.
Jadi, nilai a = -2√14.