Diketahui x^3-x^2-ax+24=0 dan x^3-9x^2+bx-24=0 mempunyai

2 dan 3

Pembahasan

Diberikan dua persamaan polinomial:
Persamaan 1: $x^3 - x^2 - ax + 24 = 0$
Persamaan 2: $x^3 - 9x^2 + bx - 24 = 0$

Kedua persamaan ini memiliki dua akar bersama. Misalkan akar-akar bersama tersebut adalah $\alpha$ dan $\beta$.

Karena $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar dari kedua persamaan, maka:

Dari Persamaan 1:
Jumlah akar: $\alpha + \beta + \gamma_1 = -(-1)/1 = 1$ (di mana $\gamma_1$ adalah akar ketiga dari Persamaan 1)
Jumlah hasil kali akar berpasangan: $\alpha\beta + \alpha\gamma_1 + \beta\gamma_1 = -a/1 = -a$
Hasil kali akar: $\alpha\beta\gamma_1 = -24/1 = -24$

Dari Persamaan 2:
Jumlah akar: $\alpha + \beta + \gamma_2 = -(-9)/1 = 9$ (di mana $\gamma_2$ adalah akar ketiga dari Persamaan 2)
Jumlah hasil kali akar berpasangan: $\alpha\beta + \alpha\gamma_2 + \beta\gamma_2 = b/1 = b$
Hasil kali akar: $\alpha\beta\gamma_2 = -(-24)/1 = 24$

Dari hasil kali akar:
$\alpha\beta\gamma_1 = -24$  (Persamaan A)
$\alpha\beta\gamma_2 = 24$   (Persamaan B)

Bagi Persamaan B dengan Persamaan A:
$\frac{\alpha\beta\gamma_2}{\alpha\beta\gamma_1} = \frac{24}{-24}$
$\frac{\gamma_2}{\gamma_1} = -1$
$\gamma_2 = -\gamma_1$

Ini berarti akar ketiga dari kedua persamaan berlawanan satu sama lain.

Sekarang gunakan informasi jumlah akar:
$\alpha + \beta + \gamma_1 = 1$  (Persamaan C)
$\alpha + \beta + \gamma_2 = 9$  (Persamaan D)

Substitusikan $\gamma_2 = -\gamma_1$ ke Persamaan D:
$\alpha + \beta - \gamma_1 = 9$ (Persamaan E)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan $\alpha + \beta$ dan $\gamma_1$:
$(\alpha + \beta) + \gamma_1 = 1$ (dari C)
$(\alpha + \beta) - \gamma_1 = 9$ (dari E)

Jumlahkan kedua persamaan ini:
$2(\alpha + \beta) = 10$
$\alpha + \beta = 5$

Ini adalah jumlah dari dua akar bersama.

Sekarang kita bisa mencari $\gamma_1$ dan $\gamma_2$:
Substitusikan $\alpha + \beta = 5$ ke Persamaan C:
$5 + \gamma_1 = 1$
$\gamma_1 = 1 - 5$
$\gamma_1 = -4$

Maka $\gamma_2 = -\gamma_1 = -(-4) = 4$.

Sekarang kita tahu akar-akar dari kedua polinomial:
Polinomial 1: $\alpha, \beta, -4$. Jumlah akarnya $\alpha + \beta + (-4) = 5 - 4 = 1$. (Cocok)
Polinomial 2: $\alpha, \beta, 4$. Jumlah akarnya $\alpha + \beta + 4 = 5 + 4 = 9$. (Cocok)

Sekarang kita perlu mencari nilai $\alpha$ dan $\beta$. Kita tahu $\alpha + \beta = 5$. Kita juga tahu hasil kali akar bersama:
$\alpha\beta\gamma_1 = -24 
\alpha\beta(-4) = -24$
$\alpha\beta = \frac{-24}{-4}$
$\alpha\beta = 6$

Jadi, kita memiliki dua akar bersama, $\alpha$ dan $\beta$, yang memenuhi:
$\alpha + \beta = 5$
$\alpha\beta = 6$

Kita dapat membentuk persamaan kuadrat dengan akar $\alpha$ dan $\beta$: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x - 2)(x - 3) = 0$

Maka akar-akarnya adalah $x = 2$ dan $x = 3$.

Jadi, dua akar bersama tersebut adalah 2 dan 3.

Kita dapat memverifikasi ini:
Untuk polinomial 1: $x^3 - x^2 - ax + 24 = 0$. Akar-akarnya adalah 2, 3, -4.
Jumlah akar: $2 + 3 + (-4) = 1$. Koefisien $x^2$ adalah -1, jadi jumlah akar = $-(-1)/1 = 1$. (Cocok)
Hasil kali akar: $2 	imes 3 	imes (-4) = -24$. Konstanta adalah 24, jadi hasil kali akar = $-24/1 = -24$. (Cocok)
Untuk mencari 'a': $\alpha\beta + \alpha\gamma_1 + \beta\gamma_1 = (2)(3) + (2)(-4) + (3)(-4) = 6 - 8 - 12 = -14$. Jadi, $-a = -14 
implies a = 14$.

Untuk polinomial 2: $x^3 - 9x^2 + bx - 24 = 0$. Akar-akarnya adalah 2, 3, 4.
Jumlah akar: $2 + 3 + 4 = 9$. Koefisien $x^2$ adalah -9, jadi jumlah akar = $-(-9)/1 = 9$. (Cocok)
Hasil kali akar: $2 	imes 3 	imes 4 = 24$. Konstanta adalah -24, jadi hasil kali akar = $-(-24)/1 = 24$. (Cocok)
Untuk mencari 'b': $\alpha\beta + \alpha\gamma_2 + \beta\gamma_2 = (2)(3) + (2)(4) + (3)(4) = 6 + 8 + 12 = 26$. Jadi, $b = 26$.