Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x^2 +

Nilai $a$ sehingga $x_1+x_1x_2+x_2$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah $a = -\sqrt{3}$.

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat $x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0$. Akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$. Berdasarkan sifat akar-akar persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:
Jumlah akar: $x_1 + x_2 = -(	ext{koefisien } x) / (	ext{koefisien } x^2) = -5a / 1 = -5a$
 hasil kali akar: $x_1 	imes x_2 = (	ext{konstanta}) / (	ext{koefisien } x^2) = (a^3 - 4a + 1) / 1 = a^3 - 4a + 1$.

Kita ingin mencari nilai $a$ sehingga $x_1 + x_1x_2 + x_2$ maksimum pada interval $[-3, 3]$.
Ekspresi yang ingin dimaksimalkan adalah $(x_1 + x_2) + x_1x_2$. Substitusikan hasil jumlah dan hasil kali akar ke dalam ekspresi ini:
$f(a) = (-5a) + (a^3 - 4a + 1)$
$f(a) = a^3 - 9a + 1$

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi $f(a)$ pada interval $[-3, 3]$, kita perlu mencari turunan pertama dari $f(a)$ terhadap $a$ dan menentukan titik kritisnya.
$f'(a) = d/da (a^3 - 9a + 1)$
$f'(a) = 3a^2 - 9$

Untuk mencari titik kritis, setel $f'(a) = 0$:
$3a^2 - 9 = 0$
$3a^2 = 9$
$a^2 = 3$
$a = \pm\sqrt{3}$

Nilai-nilai kritis adalah $a = \sqrt{3}$ dan $a = -\sqrt{3}$. Kedua nilai ini berada dalam interval $[-3, 3]$.
Sekarang, kita perlu mengevaluasi fungsi $f(a)$ pada titik-titik kritis dan pada batas interval $[-3, 3]$:

1. Evaluasi di titik kritis:
   Untuk $a = \sqrt{3}$:
   $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) + 1 = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 1 = -6\sqrt{3} + 1 \approx -6(1.732) + 1 = -10.392 + 1 = -9.392$

   Untuk $a = -\sqrt{3}$:
   $f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) + 1 = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 1 = 6\sqrt{3} + 1 \approx 6(1.732) + 1 = 10.392 + 1 = 11.392$

2. Evaluasi di batas interval:
   Untuk $a = 3$:
   $f(3) = (3)^3 - 9(3) + 1 = 27 - 27 + 1 = 1$

   Untuk $a = -3$:
   $f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 1 = 1$

Membandingkan nilai-nilai $f(a)$ yang diperoleh:
$f(\sqrt{3}) \approx -9.392$
$f(-\sqrt{3}) \approx 11.392$
$f(3) = 1$
$f(-3) = 1$

Nilai maksimum dari $f(a)$ adalah sekitar $11.392$, yang terjadi saat $a = -\sqrt{3}$.

Jadi, nilai $a$ sehingga $x_1+x_1x_2+x_2$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah $a = -\sqrt{3}$.