Diketahui sinx= 3/5 dan cos y = 12/13, x sudut tumpul dan y

Nilai tan (x + y) adalah -16/63.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai \(\tan(x+y)\), kita perlu menggunakan rumus penjumlahan tangen dan informasi yang diberikan mengenai \(\sin x\), \(\cos y\), serta kuadran sudut \(x\) dan \(y\).

Rumus penjumlahan tangen adalah:
\(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)

Kita diberikan:
*   \(\sin x = \frac{3}{5}\), dengan \(x\) adalah sudut tumpul (berada di Kuadran II).
*   \(\cos y = \frac{12}{13}\), dengan \(y\) adalah sudut lancip (berada di Kuadran I).

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Mencari \(\cos x\) dan \(\tan x\):**
    Karena \(x\) di Kuadran II, \(\cos x\) bernilai negatif.
    Menggunakan identitas \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
    \((\frac{3}{5})^2 + \cos^2 x = 1\)
    \(\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1\)
    \(\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}\)
    \(\cos x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\).
    Karena \(x\) tumpul (Kuadran II), \(\cos x = -\frac{4}{5}\).

    Sekarang kita cari \(\tan x\):
    \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}\).

2.  **Mencari \(\sin y\) dan \(\tan y\):**
    Karena \(y\) di Kuadran I, \(\sin y\) bernilai positif.
    Menggunakan identitas \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\):
    \(\sin^2 y + (\frac{12}{13})^2 = 1\)
    \(\sin^2 y + \frac{144}{169} = 1\)
    \(\sin^2 y = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\)
    \(\sin y = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}\).
    Karena \(y\) lancip (Kuadran I), \(\sin y = \frac{5}{13}\).

    Sekarang kita cari \(\tan y\):
    \(\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}\).

3.  **Menghitung \(\tan(x+y)\):**
    Substitusikan nilai \(\tan x\) dan \(\tan y\) ke dalam rumus penjumlahan tangen:
    \(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)
    \(\tan(x+y) = \frac{-3/4 + 5/12}{1 - (-3/4)(5/12)}\)

    Jumlahkan pecahan di pembilang:
    \(-\frac{3}{4} + \frac{5}{12} = -\frac{9}{12} + \frac{5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}\)

    Kalikan pecahan di penyebut:
    \(1 - (-\frac{3}{4})(\frac{5}{12}) = 1 - (-\frac{15}{48}) = 1 + \frac{15}{48}\)
    \(1 + \frac{15}{48} = \frac{48}{48} + \frac{15}{48} = \frac{63}{48}\)

    Sekarang, bagi pembilang dengan penyebut:
    \(\tan(x+y) = \frac{-1/3}{63/48}\)
    \(\tan(x+y) = -\frac{1}{3} \times \frac{48}{63}\)
    \(\tan(x+y) = -\frac{48}{3 \times 63}\)
    \(\tan(x+y) = -\frac{16}{63}\)

Jadi, nilai \(\tan(x+y)\) adalah \(-\frac{16}{63}\).