Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar positif persamaan

Diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah 9.

Pembahasan

Untuk mencari diskriminan persamaan kuadrat x^2+ax+b=0, kita perlu menentukan nilai a dan b terlebih dahulu.

Diketahui bahwa x1 dan x2 adalah akar-akar positif dari persamaan kuadrat tersebut. Ini berarti menurut teorema Vieta:
x1 + x2 = -a
x1 * x2 = b

Informasi pertama: 12, x1, x2 adalah tiga suku pertama barisan aritmetika.
Dalam barisan aritmetika, selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan (beda, d).
Maka:
x1 - 12 = x2 - x1
2*x1 = x2 + 12  (Persamaan 1)

Informasi kedua: x1, x2, 4 adalah tiga suku pertama barisan geometri.
Dalam barisan geometri, rasio antara suku-suku yang berurutan adalah konstan (rasio, r).
Maka:
x2 / x1 = 4 / x2
x2^2 = 4*x1  (Persamaan 2)

Karena akar-akar (x1 dan x2) positif, maka dari barisan aritmetika, x1 > 12 dan x2 > x1.
Dari barisan geometri, karena x1 dan x2 positif, maka r = x2/x1 > 0 dan 4/x2 > 0.

Substitusikan Persamaan 1 ke Persamaan 2:
Kita bisa nyatakan x2 dari Persamaan 1: x2 = 2*x1 - 12.
(2*x1 - 12)^2 = 4*x1
4*x1^2 - 48*x1 + 144 = 4*x1
4*x1^2 - 52*x1 + 144 = 0
Bagi dengan 4:
x1^2 - 13*x1 + 36 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat ini untuk x1:
(x1 - 4)(x1 - 9) = 0
Maka, x1 = 4 atau x1 = 9.

Karena x1 harus lebih besar dari 12 (agar suku berikutnya x2 positif dan berbeda), maka x1 = 9 tidak memenuhi syarat barisan aritmetika dimana x2 = 2*x1 - 12. Jika x1=9, maka x2 = 2*9 - 12 = 18 - 12 = 6. Ini bertentangan dengan x1<x2. Jadi x1=9 ditolak.
Mari kita periksa lagi persyaratan barisan aritmetika. Suku-suku: 12, x1, x2. Bedingannya adalah x1 - 12 = x2 - x1, atau 2x1 = 12 + x2.

Mari gunakan kembali hasil faktorisasi x1^2 - 13*x1 + 36 = 0, yang memberikan x1 = 4 atau x1 = 9.
Jika x1 = 4:
Menggunakan Persamaan 1: 2*(4) = x2 + 12 => 8 = x2 + 12 => x2 = -4. Ini bertentangan dengan syarat bahwa akar-akarnya positif. Jadi x1 = 4 ditolak.

Jika x1 = 9:
Menggunakan Persamaan 1: 2*(9) = x2 + 12 => 18 = x2 + 12 => x2 = 6. Ini bertentangan dengan syarat bahwa x1 dan x2 adalah akar positif dan dalam barisan aritmetika 12, x1, x2, maka x1 harus lebih besar dari 12 atau x1 lebih kecil dari 12. Jika x1=9, maka bedanya adalah 9-12 = -3, sehingga suku berikutnya adalah 9+(-3)=6. Ini cocok dengan x2=6. Namun, x1 dan x2 harus positif. Maka barisan aritmetika adalah 12, 9, 6. Suku x1=9 dan x2=6 keduanya positif.
Sekarang periksa barisan geometri: x1, x2, 4. Apakah 9, 6, 4 adalah barisan geometri?
Rasio 1 = 6/9 = 2/3. Rasio 2 = 4/6 = 2/3. Ya, ini adalah barisan geometri dengan rasio 2/3.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 = 9 dan x2 = 6.

Sekarang kita perlu mencari diskriminan persamaan kuadrat x^2+ax+b=0.
Diskriminan (D) = a^2 - 4b.
Dari teorema Vieta:
x1 + x2 = -a => 9 + 6 = -a => 15 = -a => a = -15.
x1 * x2 = b => 9 * 6 = b => 54 = b.

Maka, a = -15 dan b = 54.

Diskriminan D = a^2 - 4b = (-15)^2 - 4*(54)
D = 225 - 216
D = 9.

Jadi, diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah 9.