Ditentukan fungsi-fungsi berikut.(i) f(x)=3x+5/x, x=/=0

Tidak ada pasangan fungsi yang saling invers berdasarkan analisis standar.

Pembahasan

Untuk menentukan fungsi yang saling invers, kita perlu memeriksa apakah komposisi kedua fungsi menghasilkan identitas (yaitu, f(g(x)) = x dan g(f(x)) = x).

Mari kita analisis setiap pasangan:

(i) f(x) = 3x + 5/x
(ii) f(x) = 5/x + 3
(iii) f(x) = 5/(3-x)
(iv) f(x) = 3x - 5/x

Kita akan menguji beberapa kombinasi:

*   **Coba (i) dan (iv):**
    Misalkan g(x) = 3x - 5/x.
    f(g(x)) = 3(3x - 5/x) + 5/(3x - 5/x) = 9x - 15/x + 5/((3x^2 - 5)/x) = 9x - 15/x + 5x/(3x^2 - 5).
    Ini jelas tidak sama dengan x.

*   **Coba (ii) dan (iii):**
    Misalkan g(x) = 5/(3-x).
    f(g(x)) = 5/(5/(3-x)) + 3 = 5 * (3-x)/5 + 3 = (3-x) + 3 = 6 - x.
    Ini juga tidak sama dengan x.

*   **Coba (i) dan (ii):**
    Misalkan g(x) = 5/x + 3.
    f(g(x)) = 3(5/x + 3) + 5/(5/x + 3) = 15/x + 9 + 5/((5+3x)/x) = 15/x + 9 + 5x/(5+3x).
    Ini tidak sama dengan x.

*   **Coba (iii) dan (ii):**
    Misalkan g(x) = 5/x + 3.
    f(g(x)) = 5/(3 - (5/x + 3)) = 5/(3 - 5/x - 3) = 5/(-5/x) = 5 * (-x/5) = -x.
    Ini juga tidak sama dengan x.

Mari kita cek kembali invers dari fungsi yang diberikan:

*   Untuk f(x) = 3x + 5/x:
    y = 3x + 5/x
    xy = 3x^2 + 5
    3x^2 - xy + 5 = 0
    x = [y ± sqrt(y^2 - 60)] / 6. Ini bukan salah satu fungsi yang diberikan.

*   Untuk f(x) = 5/x + 3:
    y = 5/x + 3
    y - 3 = 5/x
    x = 5/(y-3).
    Jadi, inversnya adalah f^-1(x) = 5/(x-3).
    Mari kita periksa apakah ada fungsi yang sesuai dengan ini.
    Fungsi (iii) adalah f(x) = 5/(3-x). Jika kita ubah menjadi f(x) = -5/(x-3), ini juga bukan.

*   Untuk f(x) = 5/(3-x):
    y = 5/(3-x)
    3-x = 5/y
    x = 3 - 5/y.
    Jadi, inversnya adalah f^-1(x) = 3 - 5/x.
    Mari kita periksa apakah ada fungsi yang sesuai dengan ini.
    Fungsi (ii) adalah f(x) = 5/x + 3. Jika kita ubah menjadi f(x) = 3 + 5/x, maka inversnya adalah f^-1(x) = 5/(x-3). Ini bukan.

*   Untuk f(x) = 3x - 5/x:
    y = 3x - 5/x
    xy = 3x^2 - 5
    3x^2 - xy - 5 = 0
    x = [y ± sqrt(y^2 + 60)] / 6. Ini bukan salah satu fungsi yang diberikan.

Sepertinya ada kesalahan dalam pilihan atau saya perlu menguji kombinasi lain.
Mari kita coba invers dari (ii) yaitu 5/(x-3).
Periksa dengan (iii) f(x) = 5/(3-x).
Komposisi f(g(x)) = 5/(3 - (5/(x-3))) = 5/((3(x-3) - 5)/(x-3)) = 5/((3x - 9 - 5)/(x-3)) = 5(x-3)/(3x-14).
Ini tidak sama dengan x.

Mari kita coba invers dari (iii) yaitu 3 - 5/x.
Periksa dengan (ii) f(x) = 5/x + 3.
Komposisi f(g(x)) = 5/(3 - 5/x) + 3 = 5/((3x-5)/x) + 3 = 5x/(3x-5) + 3.
Ini tidak sama dengan x.

Setelah meninjau kembali soal dan kemungkinan pasangan invers, kita akan mencoba menguji invers dari (i) dan (ii).
Jika f(x) = 3x + 5/x, inversnya adalah x = [y ± sqrt(y^2 - 60)] / 6.
Jika f(x) = 5/x + 3, inversnya adalah x = 5/(y-3).

Mari kita periksa kembali invers dari (ii) f(x) = 5/x + 3.
Misalkan y = 5/x + 3.
Maka y - 3 = 5/x.
Maka x = 5/(y - 3).
Jadi invers dari (ii) adalah f_inv(x) = 5/(x-3).

Sekarang mari kita periksa invers dari (iii) f(x) = 5/(3-x).
Misalkan y = 5/(3-x).
Maka 3-x = 5/y.
Maka x = 3 - 5/y.
Jadi invers dari (iii) adalah f_inv(x) = 3 - 5/x.

Sepertinya tidak ada pasangan yang saling invers di antara pilihan yang diberikan jika kita mengikuti definisi standar. Namun, terkadang dalam soal seperti ini ada kesalahan penulisan atau maksud tertentu.

Jika kita menganggap bahwa fungsi (ii) dan (iii) MUNGKIN saling invers dengan sedikit modifikasi atau penafsiran:

Ambil (ii): f(x) = 5/x + 3. Inversnya adalah f⁻¹(x) = 5/(x-3).
Ambil (iii): f(x) = 5/(3-x). Inversnya adalah f⁻¹(x) = 3 - 5/x.

Tidak ada yang cocok.

Mari kita coba cari invers dari (i): f(x) = 3x + 5/x
y = 3x + 5/x
xy = 3x^2 + 5
3x^2 - xy + 5 = 0
x = (y ± sqrt(y^2 - 60)) / 6

Mari kita cari invers dari (iv): f(x) = 3x - 5/x
y = 3x - 5/x
xy = 3x^2 - 5
3x^2 - xy - 5 = 0
x = (y ± sqrt(y^2 + 60)) / 6


Dalam kasus ini, berdasarkan analisis standar, tidak ada pasangan fungsi yang saling invers dari pilihan yang diberikan. Mungkin ada kesalahan dalam soal.
Namun, jika kita harus memilih yang paling mendekati atau ada kemungkinan kesalahan ketik, mari kita periksa lagi:

Jika f(x) = a/(b-x), maka inversnya adalah f⁻¹(x) = b - a/x.
Untuk (iii) f(x) = 5/(3-x), maka inversnya adalah f⁻¹(x) = 3 - 5/x.

Mari kita lihat apakah ada fungsi lain yang bentuknya seperti 3 - 5/x.
Tidak ada.

Jika f(x) = a/x + b, maka inversnya adalah f⁻¹(x) = a/(x-b).
Untuk (ii) f(x) = 5/x + 3, maka inversnya adalah f⁻¹(x) = 5/(x-3).

Mari kita lihat apakah ada fungsi lain yang bentuknya seperti 5/(x-3).
Tidak ada.

Kemungkinan lain adalah jika salah satu fungsi adalah invers dari yang lain.

Misalkan kita uji f(x) = 3x + 5/x dan g(x) = 5/x + 3.
Tidak saling invers.

Misalkan kita uji f(x) = 3x + 5/x dan g(x) = 5/(3-x).
Tidak saling invers.

Misalkan kita uji f(x) = 3x + 5/x dan g(x) = 3x - 5/x.
Tidak saling invers.

Misalkan kita uji f(x) = 5/x + 3 dan g(x) = 3x - 5/x.
Tidak saling invers.

Misalkan kita uji f(x) = 5/(3-x) dan g(x) = 3x - 5/x.
Tidak saling invers.


Kesimpulan: Berdasarkan analisis matematis standar, tidak ada pasangan fungsi yang saling invers di antara pilihan yang diberikan. Kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal atau pilihan jawaban.