Fungsi f(x)=(x^2+3)/(x-1) turun pada interval....

Fungsi f(x)=(x^2+3)/(x-1) turun pada interval (-1, 1) U (1, 3).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi \(f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}\) turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan pertama bernilai negatif.

Kita gunakan aturan pembagian untuk mencari turunan \(f'(x)\):
Jika \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\), maka \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\).

Dalam kasus ini, \(u(x) = x^2+3\) dan \(v(x) = x-1\).
Maka, \(u'(x) = 2x\) dan \(v'(x) = 1\).

Sehingga:
\(f'(x) = \frac{(2x)(x-1) - (x^2+3)(1)}{(x-1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x-1)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}\)

Fungsi turun ketika \(f'(x) < 0\). Karena penyebut \((x-1)^2\) selalu positif (kecuali di x=1, di mana fungsi tidak terdefinisi), maka kita perlu memperhatikan pembilangnya:
\(x^2 - 2x - 3 < 0\).

Kita faktorkan kuadratik tersebut:
\((x-3)(x+1) < 0\).

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita cari akar-akarnya yaitu x = 3 dan x = -1. Kita uji interval:

- Jika \(x < -1\), misalnya x = -2: (-2-3)(-2+1) = (-5)(-1) = 5 > 0
- Jika \(-1 < x < 3\), misalnya x = 0: (0-3)(0+1) = (-3)(1) = -3 < 0
- Jika \(x > 3\), misalnya x = 4: (4-3)(4+1) = (1)(5) = 5 > 0

Pertidaksamaan \((x-3)(x+1) < 0\) terpenuhi ketika \(-1 < x < 3\).

Namun, kita juga harus mempertimbangkan domain fungsi asli, yaitu \(x \neq 1\). Oleh karena itu, interval di mana fungsi turun adalah \(-1 < x < 1\) atau \(1 < x < 3\).

Jadi, fungsi \(f(x)=(x^2+3)/(x-1)\) turun pada interval (-1, 1) U (1, 3).