Gambarkan bangun-bangun di bawah ini jika diketahui hal-hal

Persegi panjang dengan sudut P=(6, 9), Q=(2.53, 10.98), S=(5.47, 1.02), R=(2, 3). Pusatnya di (4, 6).

Pembahasan

Untuk menggambarkan bangun-bangun tersebut, kita perlu menentukan koordinat semua sudutnya.

Diketahui:
Persegi panjang berukuran 4 x 8 satuan.
Koordinat titik perpotongan diagonalnya (4, 6).
Koordinat salah satu sudutnya (6, 9).

Misalkan salah satu sudut adalah P = (6, 9).
Titik perpotongan diagonal adalah D = (4, 6).

Karena D adalah titik tengah diagonal, maka jarak dari P ke D sama dengan jarak dari D ke sudut yang berhadapan dengan P.

Misalkan sudut yang berhadapan dengan P adalah R = (x, y).
Maka, D adalah titik tengah segmen PR.
(4, 6) = ((6+x)/2, (9+y)/2)

Untuk koordinat x:
4 = (6+x)/2
8 = 6+x
x = 8 - 6
x = 2

Untuk koordinat y:
6 = (9+y)/2
12 = 9+y
y = 12 - 9
y = 3

Jadi, sudut yang berhadapan dengan P adalah R = (2, 3).

Sekarang kita perlu mencari dua sudut lainnya, sebut saja Q dan S.

Jarak antara P(6, 9) dan R(2, 3) adalah diagonal persegi panjang.
Panjang diagonal^2 = (6-2)^2 + (9-3)^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52.

Ukuran persegi panjang adalah 4 x 8.
Keliling persegi panjang = 2 * (4+8) = 2 * 12 = 24 satuan.
Luas persegi panjang = 4 * 8 = 32 satuan persegi.

Persegi panjang memiliki sisi-sisi yang sejajar dengan sumbu koordinat atau tidak. Dari informasi yang diberikan, kita perlu mengecek apakah sisi-sisinya sejajar dengan sumbu atau tidak.

Jika sisi-sisinya sejajar dengan sumbu, maka jarak antara P dan Q (atau S) adalah salah satu ukuran (4 atau 8) dan jarak antara Q dan R (atau S dan R) adalah ukuran lainnya.

Mari kita uji jarak antara P(6,9) dan R(2,3). Jaraknya adalah sqrt(52). Ini adalah panjang diagonal. Jika sisi-sisinya sejajar sumbu, maka (panjang sisi1)^2 + (panjang sisi2)^2 = (diagonal)^2.
8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80. Ini tidak sama dengan 52.
Jadi, sisi-sisi persegi panjang TIDAK sejajar dengan sumbu koordinat.

Ini berarti kita perlu mencari vektor sisi.

Misalkan vektor PR = R - P = (2-6, 3-9) = (-4, -6).
Panjang vektor PR = sqrt((-4)^2 + (-6)^2) = sqrt(16+36) = sqrt(52).
Ini adalah panjang diagonal.

Kita tahu bahwa panjang sisi-sisinya adalah 4 dan 8.

Misalkan vektor PQ memiliki panjang 4 dan PS memiliki panjang 8 (atau sebaliknya).
Dan vektor PQ harus tegak lurus dengan vektor PS.
Juga, P + vektor PQ = Q, dan P + vektor PS = S.
Q + vektor PS = R, dan S + vektor PQ = R.

Titik D (4,6) adalah titik tengah PQ dan SR, dan juga titik tengah PS dan QR.

Ini berarti D = P + 1/2 * PR?
(4,6) = (6,9) + 1/2 * (-4, -6)
(4,6) = (6,9) + (-2, -3)
(4,6) = (4, 6). Ini benar.

Sekarang kita perlu menemukan vektor yang tegak lurus dengan PR dan memiliki panjang yang sesuai.

Misalkan vektor sisi PQ = (a, b).
Misalkan vektor sisi PS = (c, d).

Kita tahu PQ tegak lurus PS, sehingga a*c + b*d = 0.
Panjang PQ = sqrt(a^2 + b^2) = 4  => a^2 + b^2 = 16
Panjang PS = sqrt(c^2 + d^2) = 8  => c^2 + d^2 = 64

Kita juga tahu bahwa R = P + PQ + PS.
(2, 3) = (6, 9) + (a, b) + (c, d)
(-4, -6) = (a+c, b+d)

Jadi, a+c = -4 dan b+d = -6.

Dari a+c = -4, maka c = -4-a.
Dari b+d = -6, maka d = -6-b.

Substitusikan ke c^2 + d^2 = 64:
(-4-a)^2 + (-6-b)^2 = 64
(4+a)^2 + (6+b)^2 = 64
16 + 8a + a^2 + 36 + 12b + b^2 = 64
a^2 + b^2 + 8a + 12b + 52 = 64

Karena a^2 + b^2 = 16, substitusikan:
16 + 8a + 12b + 52 = 64
8a + 12b + 68 = 64
8a + 12b = 64 - 68
8a + 12b = -4
Bagi dengan 4:
2a + 3b = -1

Kita punya sistem persamaan:
1) a^2 + b^2 = 16
2) 2a + 3b = -1

Dari (2), 2a = -1 - 3b => a = (-1 - 3b) / 2
Substitusikan ke (1):
((-1 - 3b) / 2)^2 + b^2 = 16
(1 + 6b + 9b^2) / 4 + b^2 = 16
1 + 6b + 9b^2 + 4b^2 = 64
13b^2 + 6b + 1 = 64
13b^2 + 6b - 63 = 0

Gunakan rumus kuadratik untuk b: b = [-B +/- sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
A=13, B=6, C=-63
b = [-6 +/- sqrt(6^2 - 4 * 13 * -63)] / (2 * 13)
b = [-6 +/- sqrt(36 + 3276)] / 26
b = [-6 +/- sqrt(3312)] / 26
b = [-6 +/- 57.55] / 26

Kita ambil salah satu nilai b, misal b = (-6 + 57.55) / 26 = 51.55 / 26 = 1.98

Maka a = (-1 - 3*1.98) / 2 = (-1 - 5.94) / 2 = -6.94 / 2 = -3.47

Jadi, vektor PQ = (-3.47, 1.98).

Sekarang cari vektor PS:
c = -4 - a = -4 - (-3.47) = -4 + 3.47 = -0.53
d = -6 - b = -6 - 1.98 = -7.98

Jadi, vektor PS = (-0.53, -7.98).

Mari kita cek:
Panjang PQ = sqrt((-3.47)^2 + (1.98)^2) = sqrt(12.04 + 3.92) = sqrt(15.96) approx 4.
Panjang PS = sqrt((-0.53)^2 + (-7.98)^2) = sqrt(0.28 + 63.68) = sqrt(63.96) approx 8.

Koordinat Q = P + PQ = (6, 9) + (-3.47, 1.98) = (2.53, 10.98)
Koordinat S = P + PS = (6, 9) + (-0.53, -7.98) = (5.47, 1.02)

Mari kita cek apakah Q + PS = R
(2.53, 10.98) + (-0.53, -7.98) = (2.53-0.53, 10.98-7.98) = (2, 3). Ini cocok dengan R.

Jadi, koordinat sudutnya adalah:
P = (6, 9)
Q = (2.53, 10.98)
S = (5.47, 1.02)
R = (2, 3)

Gambarannya adalah persegi panjang dengan sudut-sudut tersebut. Titik pusatnya di (4, 6). Sisi-sisinya tidak sejajar dengan sumbu koordinat.