Gambarlah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

Titik sudut: (36/23, 40/23), (8/13, 72/13), (48/7, 6/7)

Pembahasan

Untuk menggambar himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear pada bidang Cartesius dan menentukan koordinat titik-titik sudutnya, kita perlu mengubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan garis terlebih dahulu, lalu mencari titik potongnya.

Sistem pertidaksamaan:
1. $4x + y \ge 8$
2. $x + 6y \, \ge 12$
3. $3x + 4y \, \le 24$

Mari kita ubah menjadi persamaan:
1. $4x + y = 8$
   - Jika $x=0$, maka $y=8$. Titik: (0, 8)
   - Jika $y=0$, maka $4x=8 \, \implies x=2$. Titik: (2, 0)
   - Daerahnya adalah di atas garis ini karena $\ge$.

2. $x + 6y = 12$
   - Jika $x=0$, maka $6y=12 \implies y=2$. Titik: (0, 2)
   - Jika $y=0$, maka $x=12$. Titik: (12, 0)
   - Daerahnya adalah di atas garis ini karena $\ge$.

3. $3x + 4y = 24$
   - Jika $x=0$, maka $4y=24 \implies y=6$. Titik: (0, 6)
   - Jika $y=0$, maka $3x=24 \implies x=8$. Titik: (8, 0)
   - Daerahnya adalah di bawah garis ini karena $\le$.

Sekarang, kita cari titik-titik potong dari garis-garis ini:

*   **Titik Potong Garis 1 dan 2:**
    $4x + y = 8 \, \implies y = 8 - 4x$
    Substitusikan ke persamaan 2:
    $x + 6(8 - 4x) = 12$
    $x + 48 - 24x = 12$
    $-23x = 12 - 48$
    $-23x = -36$
    $x = \frac{36}{23}$
    $y = 8 - 4(\frac{36}{23}) = 8 - \frac{144}{23} = \frac{184 - 144}{23} = \frac{40}{23}$
    Titik potong 1: $(\frac{36}{23}, \frac{40}{23})$

*   **Titik Potong Garis 1 dan 3:**
    $4x + y = 8 \, \implies y = 8 - 4x$
    Substitusikan ke persamaan 3:
    $3x + 4(8 - 4x) = 24$
    $3x + 32 - 16x = 24$
    $-13x = 24 - 32$
    $-13x = -8$
    $x = \frac{8}{13}$
    $y = 8 - 4(\frac{8}{13}) = 8 - \frac{32}{13} = \frac{104 - 32}{13} = \frac{72}{13}$
    Titik potong 2: $(\frac{8}{13}, \frac{72}{13})$

*   **Titik Potong Garis 2 dan 3:**
    $x + 6y = 12 \, \implies x = 12 - 6y$
    Substitusikan ke persamaan 3:
    $3(12 - 6y) + 4y = 24$
    $36 - 18y + 4y = 24$
    $-14y = 24 - 36$
    $-14y = -12$
    $y = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$
    $x = 12 - 6(\frac{6}{7}) = 12 - \frac{36}{7} = \frac{84 - 36}{7} = \frac{48}{7}$
    Titik potong 3: $(\frac{48}{7}, \frac{6}{7})$

Untuk menggambar himpunan penyelesaian, kita perlu memperhatikan daerah yang memenuhi ketiga pertidaksamaan. Daerah yang terbentuk adalah poligon yang dibatasi oleh ketiga garis tersebut dan berada di kuadran pertama (karena $x$ dan $y$ biasanya diasumsikan non-negatif dalam konteks ini, meskipun tidak secara eksplisit dinyatakan dalam soal). Titik-titik sudut dari daerah yang terbentuk adalah titik potong garis-garis tersebut yang memenuhi semua pertidaksamaan, serta titik potong dengan sumbu jika relevan dan berada dalam daerah.

Berdasarkan analisis, titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah:
1. Titik potong garis $4x+y=8$ dan $x+6y=12$: $(\frac{36}{23}, \frac{40}{23})$
2. Titik potong garis $4x+y=8$ dan $3x+4y=24$: $(\frac{8}{13}, \frac{72}{13})$
3. Titik potong garis $x+6y=12$ dan $3x+4y=24$: $(\frac{48}{7}, \frac{6}{7})$

Untuk memastikan titik-titik ini adalah sudut dari daerah yang dibatasi, kita perlu memeriksa apakah mereka memenuhi pertidaksamaan lainnya. Dalam kasus ini, karena kita mencari daerah yang diarsir oleh ketiga pertidaksamaan, titik potong antar garis pembatas akan menjadi sudutnya. Kita juga perlu mempertimbangkan titik potong dengan sumbu jika daerahnya meluas sampai ke sumbu dan dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut.