Garis g menyinggung grafik fungsi

y = x - 2π/3

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung (g) pada grafik fungsi f(x) di titik x=2π/3, kita perlu mencari gradien garis singgung tersebut dengan menurunkan fungsi f(x) terhadap x, kemudian substitusikan x=2π/3. Setelah itu, kita cari nilai y pada titik singgung tersebut, dan gunakan rumus persamaan garis.

Fungsi yang diberikan: f(x) = sin(x - 2π/3) / cos(x/2 - π/3)

Langkah 1: Cari turunan f(x) menggunakan aturan kuosien (turunan dari u/v adalah (u'v - uv')/v^2).
Misalkan u = sin(x - 2π/3) dan v = cos(x/2 - π/3).

Maka, turunan u (u') adalah:
u' = cos(x - 2π/3) * d/dx(x - 2π/3) = cos(x - 2π/3) * 1 = cos(x - 2π/3).

Dan turunan v (v') adalah:
v' = -sin(x/2 - π/3) * d/dx(x/2 - π/3) = -sin(x/2 - π/3) * (1/2) = -1/2 sin(x/2 - π/3).

Sekarang terapkan aturan kuosien:
f'(x) = [u'v - uv'] / v^2
       = [cos(x - 2π/3) * cos(x/2 - π/3) - sin(x - 2π/3) * (-1/2 sin(x/2 - π/3))] / [cos(x/2 - π/3)]^2
       = [cos(x - 2π/3) cos(x/2 - π/3) + 1/2 sin(x - 2π/3) sin(x/2 - π/3)] / cos^2(x/2 - π/3)

Langkah 2: Hitung gradien (m) dengan mensubstitusikan x = 2π/3 ke dalam f'(x).
Saat x = 2π/3:
(x - 2π/3) = 2π/3 - 2π/3 = 0
(x/2 - π/3) = (2π/3)/2 - π/3 = π/3 - π/3 = 0

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam f'(x):
m = [cos(0) * cos(0) + 1/2 sin(0) * sin(0)] / cos^2(0)
m = [1 * 1 + 1/2 * 0 * 0] / 1^2
m = [1 + 0] / 1
m = 1

Jadi, gradien garis singgung adalah m = 1.

Langkah 3: Cari nilai y pada titik singgung dengan mensubstitusikan x = 2π/3 ke dalam f(x).
f(2π/3) = sin(2π/3 - 2π/3) / cos(2π/3 / 2 - π/3)
         = sin(0) / cos(π/3 - π/3)
         = sin(0) / cos(0)
         = 0 / 1
         = 0

Jadi, titik singgungnya adalah (2π/3, 0).

Langkah 4: Gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1).
Dengan titik (x1, y1) = (2π/3, 0) dan gradien m = 1:
y - 0 = 1(x - 2π/3)
y = x - 2π/3

Jadi, persamaan garis g adalah y = x - 2π/3.