Grafik fungsi f(x)=ax^3-bx^2+cx+12 naik jika .... A.

b^2-3ac<0 dan a>0

Pembahasan

Untuk menentukan kapan grafik fungsi f(x) = ax^3 - bx^2 + cx + 12 naik, kita perlu menganalisis turunan pertamanya, f'(x).

Sebuah fungsi dikatakan naik jika turunan pertamanya positif (f'(x) > 0).

Mari kita cari turunan pertama dari f(x):
f'(x) = d/dx (ax^3 - bx^2 + cx + 12)
f'(x) = 3ax^2 - 2bx + c

Agar fungsi f(x) naik, maka f'(x) harus positif untuk semua x atau memiliki kondisi tertentu.
Dalam konteks soal pilihan ganda ini, kita perlu mencari kondisi agar f'(x) = 3ax^2 - 2bx + c selalu positif (jika a > 0) atau selalu negatif (jika a < 0) agar kurva tidak memotong sumbu x (yaitu, tidak ada akar real untuk f'(x)=0) atau memiliki kondisi lain yang berkaitan dengan diskriminan.

Namun, soal ini tampaknya menyederhanakan kondisi dengan langsung merujuk pada bentuk diskriminan dari persamaan kuadrat yang terkait dengan f'(x). Agar fungsi kuadrat Ax^2 + Bx + C selalu positif, maka A harus positif dan diskriminannya (B^2 - 4AC) harus negatif.

Dalam kasus f'(x) = 3ax^2 - 2bx + c, koefisiennya adalah A = 3a, B = -2b, dan C = c.
Agar f'(x) > 0, maka:
1. Koefisien x^2 harus positif: 3a > 0, yang berarti a > 0.
2. Diskriminan harus negatif: B^2 - 4AC < 0
   (-2b)^2 - 4(3a)(c) < 0
   4b^2 - 12ac < 0
   4(b^2 - 3ac) < 0
   b^2 - 3ac < 0

Jadi, agar fungsi f(x) = ax^3 - bx^2 + cx + 12 naik (memiliki turunan pertama positif), diperlukan kondisi a > 0 DAN b^2 - 3ac < 0.

Mari kita cocokkan dengan pilihan jawaban:
A. b^2-4ac<0 dan a>0 (Salah, diskriminan menggunakan -4ac bukan -3ac, dan koefisien x^2 adalah 3a)
B. b^2-4ac<0 dan a<0 (Salah)
C. b^2-3ac>0 dan a<0 (Salah)
D. b^2-3ac<0 dan a>0 (Benar, sesuai dengan analisis kita)
E. b^2-3ac<0 dan a<0 (Salah, karena a harus positif)

Oleh karena itu, grafik fungsi f(x)=ax^3-bx^2+cx+12 naik jika b^2-3ac<0 dan a>0.