Grafik fungsi kuadrat f(x)=(m+3)x^2-2mx+3 dan

a. m = -2, b. A(-1,0), B(-3,0), c. Puncak f(x) = (-2,-1), Puncak g(x) = (-2,2)

Pembahasan

a. Agar grafik fungsi kuadrat f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik A dan B, diskriminan dari masing-masing fungsi harus sama dengan nol.

Untuk f(x) = (m+3)x² - 2mx + 3:
Diskriminan (D1) = b² - 4ac = (-2m)² - 4(m+3)(3) = 4m² - 12(m+3) = 4m² - 12m - 36
Agar memotong sumbu X, D1 = 0
4m² - 12m - 36 = 0
m² - 3m - 9 = 0
Menggunakan rumus kuadratik: m = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a
m = [3 ± √((-3)² - 4(1)(-9))] / 2(1)
m = [3 ± √(9 + 36)] / 2
m = [3 ± √45] / 2
m = [3 ± 3√5] / 2

Untuk g(x) = mx² + 4mx - 6:
Diskriminan (D2) = b² - 4ac = (4m)² - 4(m)(-6) = 16m² + 24m
Agar memotong sumbu X, D2 = 0
16m² + 24m = 0
8m(2m + 3) = 0
m = 0 atau m = -3/2

Karena kedua grafik memotong sumbu X di titik A dan B, nilai m harus sama untuk kedua fungsi. Namun, kedua fungsi memiliki kondisi diskriminan yang berbeda untuk memotong sumbu X. Jika soal mengasumsikan kedua fungsi memiliki akar yang sama, maka kita perlu mencari nilai m yang memenuhi kedua kondisi diskriminan nol. Dalam kasus ini, tidak ada nilai m tunggal yang membuat kedua diskriminan nol secara bersamaan.

Mari kita asumsikan bahwa soal mengacu pada kondisi di mana kedua grafik memotong sumbu X, bukan berarti akar-akarnya harus sama.

Jika grafik memotong sumbu X, maka akar-akarnya real. Untuk f(x), m = [3 ± 3√5] / 2. Untuk g(x), m = 0 atau m = -3/2.

Jika diasumsikan soal meminta nilai m sehingga ada titik potong sumbu X, maka:
Untuk f(x): m = [3 + 3√5] / 2 atau m = [3 - 3√5] / 2
Untuk g(x): m = 0 atau m = -3/2

Jika soal seharusnya menyatakan bahwa kedua grafik memiliki akar yang sama, maka kita perlu nilai m yang memenuhi kedua persamaan diskriminan nol, yang tidak ada.

Kita akan melanjutkan dengan asumsi bahwa nilai m yang dicari adalah salah satu dari nilai-nilai yang membuat masing-masing fungsi memotong sumbu X.

Nilai m yang membuat f(x) memotong sumbu X: m = (3 ± 3√5)/2
Nilai m yang membuat g(x) memotong sumbu X: m = 0 atau m = -3/2

Tidak ada nilai m yang sama antara kedua himpunan ini.

Mari kita periksa ulang interpretasi soal. Jika soal berarti 'grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X', maka kita hanya perlu mencari nilai m yang membuat diskriminan positif atau nol.

Untuk f(x): m² - 3m - 9 ≥ 0. Akar-akarnya adalah (3 ± 3√5)/2. Maka m ≤ (3 - 3√5)/2 atau m ≥ (3 + 3√5)/2.
Untuk g(x): 16m² + 24m ≥ 0 => 8m(2m + 3) ≥ 0. Maka m ≤ -3/2 atau m ≥ 0.

Jika soal meminta nilai m yang sama untuk kedua kondisi ini, tidak ada solusi tunggal.

Asumsi lain: Mungkin ada kesalahan ketik dalam soal, atau maksudnya adalah kedua grafik memotong sumbu X pada titik yang sama. Namun, tanpa informasi lebih lanjut, sulit untuk melanjutkan bagian a.

Jika kita harus memilih satu nilai m, kita tidak bisa menentukan tanpa klarifikasi.

Mari kita ambil contoh jika m = -3/2 untuk g(x).
Untuk f(x) dengan m = -3/2:
f(x) = (-3/2 + 3)x² - 2(-3/2)x + 3 = (3/2)x² + 3x + 3
D1 = 3² - 4(3/2)(3) = 9 - 18 = -9. Ini tidak memotong sumbu X.

Mari kita ambil contoh jika m = 0 untuk g(x).
Untuk f(x) dengan m = 0:
f(x) = (0+3)x² - 2(0)x + 3 = 3x² + 3
D1 = 0² - 4(3)(3) = -36. Ini tidak memotong sumbu X.

Jika kita mengasumsikan bahwa maksud soal adalah mencari nilai m agar SETIDAKNYA SATU dari fungsi tersebut memotong sumbu X, maka kita bisa menggunakan nilai-nilai yang ditemukan.

Misalkan kita ambil kasus di mana kedua fungsi memiliki akar yang sama, yaitu D1=0 dan D2=0.
Dari D2=0, m = 0 atau m = -3/2.
Jika m = 0, D1 = -36 ≠ 0.
Jika m = -3/2, D1 = (-3/2)² - 3(-3/2) - 9 = 9/4 + 9/2 - 9 = 9/4 + 18/4 - 36/4 = -9/4 ≠ 0.
Jadi, tidak ada nilai m yang membuat kedua fungsi memotong sumbu X di satu titik.

Kemungkinan lain, soal mengacu pada memotong sumbu X di titik yang sama. Jika mereka memotong sumbu X di titik A dan B, artinya mereka memiliki akar yang sama.

Jika f(x)=0 dan g(x)=0 memiliki akar yang sama, maka:
(m+3)x² - 2mx + 3 = 0
mx² + 4mx - 6 = 0

Jika m=0, f(x)=3x²+3=0 (tidak punya akar real). g(x)=-6=0 (tidak punya akar).
Jika m=-3/2, f(x)=(3/2)x²+3x+3=0 => 3x²+6x+6=0 => x²+2x+2=0 (D=4-8=-4, tidak punya akar real). g(x)=(-3/2)x²+4(-3/2)x-6 = (-3/2)x²-6x-6=0 => x²+4x+4=0 => (x+2)²=0 => x=-2 (akar tunggal).

Karena soal menyatakan memotong sumbu X di titik A dan B, ini berarti diskriminan harus nol untuk kedua fungsi.
Seperti yang dihitung di atas, tidak ada nilai m yang membuat kedua diskriminan menjadi nol secara bersamaan.

Asumsikan ada kesalahan dalam soal dan kita hanya perlu mencari nilai m agar SETIDAKNYA SATU dari fungsi memotong sumbu X. Maka kita akan ambil salah satu nilai m yang membuat diskriminan nol.

Mari kita pilih nilai m dari g(x) = 0 atau m = -3/2.

Jika m = -3/2:
f(x) = (3/2)x² + 3x + 3. Diskriminan = -9.
Karena diskriminan negatif, f(x) tidak memotong sumbu X.

Jika m = 0:
f(x) = 3x² + 3. Diskriminan = -36.
Karena diskriminan negatif, f(x) tidak memotong sumbu X.

Ada kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan atau membutuhkan klarifikasi lebih lanjut mengenai apa yang dimaksud dengan "memotong sumbu X di titik A dan B".

Jika kita mengabaikan syarat "memotong sumbu X" dan fokus pada perbandingan koefisien agar akar sama:
Dari mx² + 4mx - 6 = 0, jika dibagi dengan -1/m, kita dapatkan -x² - 4x + 6/m = 0.
Dari (m+3)x² - 2mx + 3 = 0.
Agar akar sama, perbandingan koefisien harus sama:
(m+3)/m = -2m/(-4m) = 3/(-6)

(m+3)/m = 1/2
2(m+3) = m
2m + 6 = m
m = -6

Periksa perbandingan kedua:
-2m/(-4m) = 1/2
3/(-6) = -1/2

Karena 1/2 ≠ -1/2, maka tidak ada nilai m yang membuat kedua persamaan memiliki akar yang sama.

Dengan asumsi soal salah dan mencari nilai m agar SUMBU SIMETRI kedua fungsi sama:
Sumbu simetri f(x) = -b/2a = -(-2m) / (2(m+3)) = 2m / (2(m+3)) = m / (m+3)
Sumbu simetri g(x) = -b/2a = -(4m) / (2m) = -2

Jadi, m / (m+3) = -2
m = -2(m+3)
m = -2m - 6
3m = -6
m = -2

Jika m = -2:
f(x) = (-2+3)x² - 2(-2)x + 3 = x² + 4x + 3
Memotong sumbu X di x² + 4x + 3 = 0 => (x+1)(x+3)=0 => x=-1, x=-3. (Titik A dan B)
Titik puncak f(x) = -b/2a = -4/2 = -2. f(-2) = (-2)² + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Puncak (-2, -1).

g(x) = -2x² + 4(-2)x - 6 = -2x² - 8x - 6
Memotong sumbu X di -2x² - 8x - 6 = 0 => x² + 4x + 3 = 0 => (x+1)(x+3)=0 => x=-1, x=-3. (Titik A dan B yang sama)
Titik puncak g(x) = -b/2a = -(-8) / (2(-2)) = 8 / -4 = -2. g(-2) = -2(-2)² - 8(-2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2. Puncak (-2, 2).

Jadi, dengan interpretasi bahwa sumbu simetri sama, maka nilai m = -2.

a. Nilai m = -2.
b. Koordinat titik A dan B adalah (-1, 0) dan (-3, 0).
c. Titik puncak grafik fungsi kuadrat y=f(x) adalah (-2, -1) dan y=g(x) adalah (-2, 2).

Ini adalah interpretasi yang paling masuk akal untuk soal ini agar memiliki solusi yang konsisten.