Gunakan teorema sisa (dalil sisa) untuk menen- tukan sisa

a. Sisa pembagian adalah -12. b. Sisa pembagian adalah 13.

Pembahasan

Kita akan menggunakan Teorema Sisa (Dalil Sisa) untuk menentukan sisa pembagian suku banyak. Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x - k), maka sisanya adalah P(k). Jika pembaginya adalah suku banyak berderajat lebih tinggi, kita perlu menyesuaikan penerapannya.

a. (x^4 - 16) : (x^2 - 2)
Pembaginya adalah (x^2 - 2). Kita bisa memfaktorkan pembagi ini menjadi (x - sqrt(2))(x + sqrt(2)). Atau, kita bisa mencari nilai x yang membuat x^2 - 2 = 0, yaitu x^2 = 2.

Dalam suku banyak P(x) = x^4 - 16, kita bisa mengganti x^2 dengan 2:
P(x) = (x^2)^2 - 16
Karena x^2 = 2, maka:
Sisa = (2)^2 - 16
Sisa = 4 - 16
Sisa = -12.

Cara lain adalah dengan menggunakan pembagian bersusun atau metode Horner jika pembaginya linear. Karena pembagi adalah kuadratik, kita dapat menyatakan hasil bagi sebagai Q(x) dan sisanya sebagai (Ax + B) karena derajat sisa harus lebih kecil dari derajat pembagi.
P(x) = (x^2 - 2) Q(x) + (Ax + B)
Jika x^2 = 2, maka P(x) = Ax + B.
Kita tahu x^4 - 16 = (x^2)^2 - 16. Mengganti x^2 = 2, kita dapatkan (2)^2 - 16 = 4 - 16 = -12.
Jadi, Ax + B = -12. Karena ini harus berlaku untuk semua x yang memenuhi x^2 = 2, maka A harus 0 (karena tidak ada suku x di -12) dan B = -12.
Jadi, sisa pembagiannya adalah -12.

b. (x^12 + 3x^6 - 4x^3 + 5) : (x^3 + 1)
Pembaginya adalah (x^3 + 1). Kita cari nilai x yang membuat pembagi = 0, yaitu x^3 + 1 = 0, atau x^3 = -1.

Suku banyak P(x) = x^12 + 3x^6 - 4x^3 + 5.
Kita bisa menulis ulang suku banyak ini dalam bentuk pangkat x^3:
P(x) = (x^3)^4 + 3(x^3)^2 - 4(x^3) + 5.

Sekarang, substitusikan x^3 = -1 ke dalam suku banyak tersebut:
Sisa = (-1)^4 + 3(-1)^2 - 4(-1) + 5
Sisa = 1 + 3(1) - (-4) + 5
Sisa = 1 + 3 + 4 + 5
Sisa = 13.

Jadi, sisa pembagiannya adalah 13.