Hasil (cos(45-a)+cos(45+a))/(sin(45+a)+sin(45-a))=...

Hasilnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Diketahui:
(cos(45-a)+cos(45+a))/(sin(45+a)+sin(45-a))

Kita gunakan identitas penjumlahan dan pengurangan untuk cosinus dan sinus:
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

Maka:
cos(45-a) = cos 45 cos a + sin 45 sin a = (√2/2)cos a + (√2/2)sin a
cos(45+a) = cos 45 cos a - sin 45 sin a = (√2/2)cos a - (√2/2)sin a

Jumlah pembilang:
cos(45-a)+cos(45+a) = [(√2/2)cos a + (√2/2)sin a] + [(√2/2)cos a - (√2/2)sin a] = 2 * (√2/2)cos a = √2 cos a

Selanjutnya untuk penyebut:
sin(45+a) = sin 45 cos a + cos 45 sin a = (√2/2)cos a + (√2/2)sin a
sin(45-a) = sin 45 cos a - cos 45 sin a = (√2/2)cos a - (√2/2)sin a

Jumlah penyebut:
sin(45+a)+sin(45-a) = [(√2/2)cos a + (√2/2)sin a] + [(√2/2)cos a - (√2/2)sin a] = 2 * (√2/2)cos a = √2 cos a

Jadi, hasil dari ekspresi tersebut adalah:
(√2 cos a) / (√2 cos a) = 1

Alternatif lain menggunakan identitas jumlah dan selisih:
cos C + cos D = 2 cos((C+D)/2) cos((C-D)/2)
sin C + sin D = 2 sin((C+D)/2) cos((C-D)/2)

Maka:
cos(45-a)+cos(45+a) = 2 cos(((45-a)+(45+a))/2) cos(((45-a)-(45+a))/2)
= 2 cos(90/2) cos(-2a/2)
= 2 cos(45) cos(-a)
= 2 (√2/2) cos a  (karena cos(-a) = cos a)
= √2 cos a

sin(45+a)+sin(45-a) = 2 sin(((45+a)+(45-a))/2) cos(((45+a)-(45-a))/2)
= 2 sin(90/2) cos(2a/2)
= 2 sin(45) cos a
= 2 (√2/2) cos a
= √2 cos a

Hasilnya adalah (√2 cos a) / (√2 cos a) = 1.