Hasil dari integral x^3 . (2x^4-3)^(1/3) dx=...

Hasil integralnya adalah (3/32)(2x^4 - 3)^(4/3) + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral ini, kita akan menggunakan metode substitusi (u-substitution).

Misalkan u = 2x^4 - 3.

Kemudian, kita cari diferensial du:
du/dx = d/dx (2x^4 - 3)
du/dx = 8x^3

Dengan mengatur ulang, kita dapatkan:
du = 8x^3 dx

Perhatikan bahwa dalam integral kita memiliki x^3 dx. Kita bisa mengekspresikannya dalam bentuk du:
x^3 dx = (1/8) du

Sekarang, substitusikan u dan x^3 dx ke dalam integral awal:

∫ x^3 * (2x^4 - 3)^(1/3) dx = ∫ (2x^4 - 3)^(1/3) * (x^3 dx)
= ∫ u^(1/3) * (1/8) du

Kita bisa mengeluarkan konstanta 1/8 dari integral:
= (1/8) ∫ u^(1/3) du

Sekarang, kita integralkan u^(1/3) menggunakan aturan pangkat ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C:

= (1/8) * [u^((1/3) + 1) / ((1/3) + 1)] + C
= (1/8) * [u^(4/3) / (4/3)] + C
= (1/8) * [(3/4) u^(4/3)] + C
= (3/32) u^(4/3) + C

Terakhir, substitusikan kembali u = 2x^4 - 3:

= (3/32) (2x^4 - 3)^(4/3) + C

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah (3/32)(2x^4 - 3)^(4/3) + C.