Hasil dari lim x->a (x^2-ax)/(x^3-a^3)=...

Hasil limit adalah 1/(3a) untuk a != 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to a} \frac{x^2 - ax}{x^3 - a^3}$, kita dapat menggunakan faktorisasi atau aturan L'Hopital karena substitusi langsung $x=a$ akan menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

**Metode 1: Faktorisasi**

Pembilang: $x^2 - ax = x(x - a)$

Penyebut: $x^3 - a^3$ adalah selisih kubik, yang dapat difaktorkan menjadi $(x - a)(x^2 + ax + a^2)$.

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to a} \frac{x(x - a)}{(x - a)(x^2 + ax + a^2)} $$ 
Kita bisa membatalkan faktor $(x - a)$ karena $x \to a$ berarti $x \neq a$:
$$ \lim_{x \to a} \frac{x}{x^2 + ax + a^2} $$ 
Sekarang substitusikan $x = a$:
$$ \frac{a}{a^2 + a(a) + a^2} = \frac{a}{a^2 + a^2 + a^2} = \frac{a}{3a^2} $$ 
Jika $a \neq 0$, kita bisa menyederhanakannya menjadi $\frac{1}{3a}$.

Jika $a = 0$, limitnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$, yang tidak terdefinisi.

**Metode 2: Aturan L'Hopital**

Karena substitusi $x=a$ menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:

Turunan pembilang $(x^2 - ax)$ terhadap $x$ adalah $2x - a$.
Turunan penyebut $(x^3 - a^3)$ terhadap $x$ adalah $3x^2$.

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to a} \frac{2x - a}{3x^2} $$ 
Sekarang substitusikan $x = a$:
$$ \frac{2a - a}{3a^2} = \frac{a}{3a^2} $$ 
Jika $a \neq 0$, hasilnya adalah $\frac{1}{3a}$.

**Jawaban:** Hasil dari $\lim_{x \to a} \frac{x^2 - ax}{x^3 - a^3}$ adalah $\frac{1}{3a}$ (dengan asumsi $a \neq 0$).