Hasil dari mesin A adalah m% dari jumlah hasil mesin B dan

((10000 - mn) / (100m + 100n + 2mn)) * 100%

Pembahasan

Misalkan hasil mesin A, B, dan C adalah A, B, dan C.
Diketahui:
1. A = m% dari (B+C)  => A = (m/100)(B+C)
2. B = n% dari (A+C)  => B = (n/100)(A+C)

Ditanya: Persentase hasil mesin C terhadap jumlah hasil mesin A dan B, yaitu C/(A+B) * 100%.

Dari persamaan (1), kita dapatkan 100A = mB + mC => mC = 100A - mB => C = (100A - mB)/m
Dari persamaan (2), kita dapatkan 100B = nA + nC => nC = 100B - nA => C = (100B - nA)/n

Karena kedua persamaan menyatakan C, maka:
(100A - mB)/m = (100B - nA)/n
100An - mnB = 100Bm - mnA
100An + mnA = 100Bm + mnB
A(100n + mn) = B(100m + mn)
A/B = (100m + mn) / (100n + mn)
A/B = m(100+n) / n(100+m)

Sekarang kita cari C/(A+B) * 100%.
Kita bisa menyusun ulang persamaan (1) dan (2) untuk mencari rasio:
Dari (1): 100A/m = B+C
Dari (2): 100B/n = A+C

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(100A/m) - (100B/n) = (B+C) - (A+C)
100A/m - 100B/n = B - A
100An - 100Bm = mn(B - A)
100An - 100Bm = mnB - mnA
100An + mnA = 100Bm + mnB
A(100n + mn) = B(100m + mn)
A/B = (100m + mn) / (100n + mn)

Untuk mencari C/(A+B), kita bisa gunakan hubungan:
A+B+C = A+B + (100A - mB)/m = A+B + 100A/m - B = A(1+100/m) + B(1-1)
A+B+C = A + B + (100B - nA)/n = A+B + 100B/n - A = B(1+100/n)

Ini menjadi rumit. Mari kita coba pendekatan lain. Misalkan:
A = k(B+C)
B = l(A+C)

Kita ingin mencari C/(A+B).

Dari A = k(B+C) => A = kB + kC => C = (A - kB)/k
Dari B = l(A+C) => B = lA + lC => C = (B - lA)/l

(A - kB)/k = (B - lA)/l
lA - lkB = kB - k lA
lA + klA = kB + lkB
A(l+kl) = B(k+lk)
A/B = (k+kl)/(l+lk) = k(1+l)/l(1+k)

Sekarang kita punya rasio A:B. Kita bisa substitusikan kembali ke salah satu persamaan untuk mencari C.
Misalkan A = k(B+C).
Kita tahu A/B = k(1+l)/l(1+k).
Misalkan A = k(1+l) dan B = l(1+k) (dengan konstanta proporsionalitas yang sama).

Substitusikan ke persamaan pertama:
A = k(B+C)
k(1+l) = k(l(1+k) + C)
1+l = l(1+k) + C
1+l = l + lk + C
C = 1 - lk

Sekarang hitung C/(A+B):
C/(A+B) = (1-lk) / (k(1+l) + l(1+k))
C/(A+B) = (1-lk) / (k+kl + l+lk)
C/(A+B) = (1-lk) / (k+l+2kl)

Jika kita kembali ke notasi m dan n:
k = m/100, l = n/100

C/(A+B) = (1 - (m/100)(n/100)) / ((m/100) + (n/100) + 2(m/100)(n/100))
C/(A+B) = (1 - mn/10000) / ((m+n)/100 + 2mn/10000)
C/(A+B) = ((10000 - mn)/10000) / ((100m + 100n + 2mn)/10000)
C/(A+B) = (10000 - mn) / (100m + 100n + 2mn)

Persentase hasil mesin C terhadap jumlah A dan B adalah:
(C/(A+B)) * 100% = [(10000 - mn) / (100m + 100n + 2mn)] * 100%
= (1000000 - 100mn) / (100m + 100n + 2mn) %
= (100(10000 - mn)) / (100m + 100n + 2mn) %

Mari kita coba contoh. Misalkan m=50, n=50.
A = 50%(B+C) => 2A = B+C
B = 50%(A+C) => 2B = A+C
Kurangi kedua persamaan: 2A-2B = B-A => 3A = 3B => A=B.
Jika A=B, maka 2A = A+C => C=A. Jadi A=B=C.
Dalam kasus ini, hasil C adalah 100% dari A+B (karena C=A dan A=B, maka A+B = 2A, dan C/(A+B) = A/(2A) = 1/2 = 50%).
Mari kita cek rumus:
(1000000 - 100*50*50) / (100*50 + 100*50 + 2*50*50)
= (1000000 - 250000) / (5000 + 5000 + 5000)
= 750000 / 15000
= 50.
Jadi persentasenya adalah 50%. Rumus benar.

Final Answer:
Persentase hasil mesin C terhadap jumlah hasil mesin A dan B adalah ((10000 - mn) / (100m + 100n + 2mn)) * 100%.