Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x-5sin x+2=0

Himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$} .

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos 2x - 5\sin x + 2 = 0$ dalam rentang $0 \le x < \pi$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk yang lebih mudah dikelola. Identitas yang relevan adalah $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Mengganti identitas ini ke dalam persamaan awal memberikan:
$$(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x + 2 = 0$$ 
Menyusun ulang persamaan tersebut menghasilkan persamaan kuadrat dalam $\sin x$:
$$-2\sin^2 x - 5\sin x + 3 = 0$$ 
Untuk mempermudah, kalikan seluruh persamaan dengan -1:
$$2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0$$ 
Sekarang, kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Misalkan $y = \sin x$. Persamaan menjadi $2y^2 + 5y - 3 = 0$. Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$$(2y - 1)(y + 3) = 0$$ 
Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$ (atau $\sin x$):
$$2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2}$$ 
$$y + 3 = 0 \implies y = -3$$ 
Karena nilai $\sin x$ harus berada dalam rentang $[-1, 1]$, solusi $\sin x = -3$ tidak valid. Oleh karena itu, kita hanya mempertimbangkan $\sin x = \frac{1}{2}$.

Sekarang kita perlu mencari nilai $x$ dalam rentang $0 \le x < \pi$ di mana $\sin x = \frac{1}{2}$. Dalam rentang ini, $\sin x$ positif, yang terjadi di kuadran I dan II. Sudut referensi di mana $\sin x = \frac{1}{2}$ adalah $\frac{\pi}{6}$ (atau 30 derajat).

Di kuadran I, $x = \frac{\pi}{6}$.
Di kuadran II, $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Kedua nilai ini berada dalam rentang yang ditentukan $0 \le x < \pi$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$}.