Himpunan penyelesaian dari persamaan sin (5x/a) = sin 220

Himpunan penyelesaian bergantung pada nilai 'a'. Solusi umum adalah $x = 44a + k \cdot 72a$ dan $x = 64a + k \cdot 72a$, dengan $k$ dipilih agar $x$ berada dalam rentang $0 \leq x \leq 360^{\circ}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sin(\frac{5x}{a}) = \sin 220^{\circ}$ dengan rentang $0 \leq x \leq 360^{\circ}$, kita perlu menggunakan sifat-sifat fungsi sinus. Diketahui bahwa $\sin \alpha = \sin \beta$ memiliki solusi umum $\alpha = \beta + k \cdot 360^{\circ}$ atau $\alpha = (180^{\circ} - \beta) + k \cdot 360^{\circ}$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Dalam kasus ini, kita memiliki $\alpha = \frac{5x}{a}$ dan $\beta = 220^{\circ}$. Maka:

Kasus 1: $\frac{5x}{a} = 220^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
$\frac{5x}{a} = 220^{\circ}$ (untuk $k=0$)
$5x = 220a$
$x = \frac{220a}{5}$
$x = 44a$

Untuk rentang $0 \leq x \leq 360^{\circ}$, kita dapat mensubstitusikan nilai $k$ yang berbeda:
Jika $k=0$, $x = 44a$. Agar $0 \leq 44a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{44} \approx 8.18$.
Jika $k=1$, $x = 44a + \frac{360a}{5} = 44a + 72a = 116a$. Agar $0 \leq 116a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{116} \approx 3.10$.
Jika $k=2$, $x = 44a + 2 \cdot 72a = 44a + 144a = 188a$. Agar $0 \leq 188a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{188} \approx 1.91$.
Jika $k=3$, $x = 44a + 3 \cdot 72a = 44a + 216a = 260a$. Agar $0 \leq 260a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{260} \approx 1.38$.
Jika $k=4$, $x = 44a + 4 \cdot 72a = 44a + 288a = 332a$. Agar $0 \leq 332a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{332} \approx 1.08$.
Jika $k=5$, $x = 44a + 5 \cdot 72a = 44a + 360a = 404a$. Nilai ini sudah melebihi $360^{\circ}$ jika $a > 0$.

Kasus 2: $\frac{5x}{a} = (180^{\circ} - 220^{\circ}) + k \cdot 360^{\circ}$
$\frac{5x}{a} = -40^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$

Untuk rentang $0 \leq x \leq 360^{\circ}$, kita dapat mensubstitusikan nilai $k$ yang berbeda:
Jika $k=1$, $\frac{5x}{a} = -40^{\circ} + 360^{\circ} = 320^{\circ}$.
$5x = 320a$
$x = \frac{320a}{5}$
$x = 64a$. Agar $0 \leq 64a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{64} = 5.625$.
Jika $k=2$, $\frac{5x}{a} = -40^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ} = -40^{\circ} + 720^{\circ} = 680^{\circ}$.
$5x = 680a$
$x = \frac{680a}{5}$
$x = 136a$. Agar $0 \leq 136a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{136} \approx 2.65$.
Jika $k=3$, $\frac{5x}{a} = -40^{\circ} + 3 \cdot 360^{\circ} = -40^{\circ} + 1080^{\circ} = 1040^{\circ}$.
$5x = 1040a$
$x = \frac{1040a}{5}$
$x = 208a$. Agar $0 \leq 208a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{208} \approx 1.73$.
Jika $k=4$, $\frac{5x}{a} = -40^{\circ} + 4 \cdot 360^{\circ} = -40^{\circ} + 1440^{\circ} = 1400^{\circ}$.
$5x = 1400a$
$x = \frac{1400a}{5}$
$x = 280a$. Agar $0 \leq 280a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{280} \approx 1.28$.
Jika $k=5$, $\frac{5x}{a} = -40^{\circ} + 5 \cdot 360^{\circ} = -40^{\circ} + 1800^{\circ} = 1760^{\circ}$.
$5x = 1760a$
$x = \frac{1760a}{5}$
$x = 352a$. Agar $0 \leq 352a \leq 360$, maka $0 \leq a \leq \frac{360}{352} \approx 1.02$.

Himpunan penyelesaian bergantung pada nilai 'a'. Tanpa nilai spesifik untuk 'a', kita tidak dapat memberikan satu himpunan penyelesaian numerik. Namun, rumus umum untuk solusi dalam rentang yang diberikan adalah $x = 44a + k \cdot 72a$ dan $x = 64a + k \cdot 72a$ (untuk $k$ tertentu agar $x$ berada dalam rentang $0 \leq x \leq 360^{\circ}$).

Contoh: Jika $a=1$, maka $x=44^{\circ}$ (dari kasus 1, k=0) dan $x=64^{\circ}$ (dari kasus 2, k=1). Himpunan penyelesaiannya adalah {$44^{\circ}, 64^{\circ}$}.