Himpunan penyelesaian dari tan 5 x+1=0 untuk 0 <= x <= 2 pi

C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \tan(5x) + 1 = 0, kita perlu mencari nilai-nilai x dalam rentang $0 \leq x \leq 2\pi$.
Pertama, ubah persamaan menjadi $\tan(5x) = -1$.
Kita tahu bahwa nilai tangen adalah -1 ketika sudutnya berada di kuadran II atau IV. Sudut referensi untuk \tan(\theta) = 1 adalah $\pi/4$.
Jadi, solusi dasar untuk $5x$ adalah $5x = 3\pi/4$ dan $5x = 7\pi/4$.
Karena fungsi tangen memiliki periode $\pi$, solusi umumnya adalah $5x = 3\pi/4 + k\pi$ dan $5x = 7\pi/4 + k\pi$, di mana k adalah bilangan bulat.
Untuk mencari nilai x, bagi kedua sisi dengan 5: $x = 3\pi/20 + k\pi/5$ dan $x = 7\pi/20 + k\pi/5$.
Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai k (..., -1, 0, 1, 2, ...) untuk menemukan solusi dalam rentang $0 \leq x \leq 2\pi$. Kita perlu mencari nilai k sehingga $0 \leq 3\pi/20 + k\pi/5 \leq 2\pi$ dan $0 \leq 7\pi/20 + k\pi/5 \leq 2\pi$.
Untuk $x = 3\pi/20 + k\pi/5$:
Jika $k=0$, $x = 3\pi/20$.
Jika $k=1$, $x = 3\pi/20 + \pi/5 = 3\pi/20 + 4\pi/20 = 7\pi/20$.
Jika $k=2$, $x = 3\pi/20 + 2\pi/5 = 3\pi/20 + 8\pi/20 = 11\pi/20$.
Jika $k=3$, $x = 3\pi/20 + 3\pi/5 = 3\pi/20 + 12\pi/20 = 15\pi/20 = 3\pi/4$.
Jika $k=4$, $x = 3\pi/20 + 4\pi/5 = 3\pi/20 + 16\pi/20 = 19\pi/20$.
Jika $k=5$, $x = 3\pi/20 + 5\pi/5 = 3\pi/20 + \pi = 3\pi/20 + 20\pi/20 = 23\pi/20$.
Jika $k=6$, $x = 3\pi/20 + 6\pi/5 = 3\pi/20 + 24\pi/20 = 27\pi/20$.
Jika $k=7$, $x = 3\pi/20 + 7\pi/5 = 3\pi/20 + 28\pi/20 = 31\pi/20$.
Jika $k=8$, $x = 3\pi/20 + 8\pi/5 = 3\pi/20 + 32\pi/20 = 35\pi/20 = 7\pi/4$. (Ini melewati $2\pi$ jika kita menggunakan $2\pi$ sebagai batas inklusif, tapi kita akan lihat nanti) $2\pi = 40\pi/20$. Jadi ini masih dalam batas.
Untuk $x = 7\pi/20 + k\pi/5$:
Jika $k=0$, $x = 7\pi/20$.
Jika $k=1$, $x = 7\pi/20 + \pi/5 = 7\pi/20 + 4\pi/20 = 11\pi/20$.
Jika $k=2$, $x = 7\pi/20 + 2\pi/5 = 7\pi/20 + 8\pi/20 = 15\pi/20 = 3\pi/4$.
Jika $k=3$, $x = 7\pi/20 + 3\pi/5 = 7\pi/20 + 12\pi/20 = 19\pi/20$.
Jika $k=4$, $x = 7\pi/20 + 4\pi/5 = 7\pi/20 + 16\pi/20 = 23\pi/20$.
Jika $k=5$, $x = 7\pi/20 + 5\pi/5 = 7\pi/20 + \pi = 7\pi/20 + 20\pi/20 = 27\pi/20$.
Jika $k=6$, $x = 7\pi/20 + 6\pi/5 = 7\pi/20 + 24\pi/20 = 31\pi/20$.
Jika $k=7$, $x = 7\pi/20 + 7\pi/5 = 7\pi/20 + 28\pi/20 = 35\pi/20 = 7\pi/4$.
Jika $k=8$, $x = 7\pi/20 + 8\pi/5 = 7\pi/20 + 32\pi/20 = 39\pi/20$.

Perlu diperhatikan bahwa $\tan(5x) = -1$ berarti $5x = \arctan(-1) + n\pi$. Sudut referensi untuk \tan(y) = 1 adalah $\pi/4$. Karena tangen negatif di kuadran II dan IV, sudutnya adalah $3\pi/4$ dan $7\pi/4$. Jadi, $5x = 3\pi/4 + n\pi$ atau $5x = 7\pi/4 + n\pi$.
Maka, $x = 3\pi/20 + n\pi/5$ atau $x = 7\pi/20 + n\pi/5$.

Kita perlu mencari nilai $x$ di antara 0 dan $2\pi$. $2\pi = 40\pi/20$.
Untuk $x = 3\pi/20 + n\pi/5 = 3\pi/20 + 4n\pi/20 = (3+4n)\pi/20$:
$n=0: x = 3\pi/20$
$n=1: x = 7\pi/20$
$n=2: x = 11\pi/20$
$n=3: x = 15\pi/20 = 3\pi/4$
$n=4: x = 19\pi/20$
$n=5: x = 23\pi/20$
$n=6: x = 27\pi/20$
$n=7: x = 31\pi/20$
$n=8: x = 35\pi/20 = 7\pi/4$
$n=9: x = 39\pi/20$

Untuk $x = 7\pi/20 + n\pi/5 = 7\pi/20 + 4n\pi/20 = (7+4n)\pi/20$:
$n=0: x = 7\pi/20$
$n=1: x = 11\pi/20$
$n=2: x = 15\pi/20 = 3\pi/4$
$n=3: x = 19\pi/20$
$n=4: x = 23\pi/20$
$n=5: x = 27\pi/20$
$n=6: x = 31\pi/20$
$n=7: x = 35\pi/20 = 7\pi/4$
$n=8: x = 39\pi/20$

Menggabungkan dan mengurutkan semua nilai unik yang berada dalam rentang $0 \leq x \leq 2\pi$ ($0 \leq x \leq 40\pi/20$):
$3\pi/20, 7\pi/20, 11\pi/20, 15\pi/20 (3\pi/4), 19\pi/20, 23\pi/20, 27\pi/20, 31\pi/20, 35\pi/20 (7\pi/4), 39\pi/20$.

Sekarang mari kita cocokkan dengan pilihan yang diberikan:
A. $3/20 \pi, 1/4 \pi, 11/20 \pi, 3/4 \pi, 19/20 \pi, 23/20 \pi, 27/20 \pi, 29/20 \pi. , .33/20 \pi, 39/20 \pi$
(1/4 pi = 5/20 pi, 29/20 pi, 33/20 pi tidak ada)
B. $3/20 \pi, 9/20 \pi, 13/20 \pi, 3/4 \pi, 17/20 \pi, 23/20 \pi, 27/20 \pi, 33/20 \pi. , .7/4 \pi, 39/20 \pi$
(9/20 pi, 13/20 pi, 17/20 pi, 33/20 pi, 7/4 pi (35/20 pi) tidak ada di himpunan kita)
C. $3/20 \pi, 7/20 \pi, 11/20 \pi, 3/4 \pi, 19/20 \pi, 23/20 \pi, 27/20 \pi, 31/20 \pi. , .7/4 \pi, 39/20 \pi$
(7/4 pi = 35/20 pi, yang ada di himpunan kita)
D. $3/20 \pi, 7/20 \pi, 9/20 \pi, 3/4 \pi, 21/20 \pi, 23/20 \pi, 27/20 \pi, 31/20 \pi. , .33/20 \pi, 39/20 \pi$
(9/20 pi, 21/20 pi, 33/20 pi tidak ada)
E. $3/20 \pi, 9/20 \pi, 11/20 \pi, 3/4 \pi, 17/20 \pi, 21/20 \pi, 27/20 \pi, 31/20 \pi. , .7/4 \pi, 39/20 \pi$
(9/20 pi, 17/20 pi, 21/20 pi tidak ada)

Sepertinya ada ketidaksesuaian antara perhitungan saya dan pilihan jawaban yang diberikan. Mari kita periksa kembali perhitungan kita.
Kita mencari solusi dari $\tan(5x) = -1$ dalam $0 \leq x \leq 2\pi$. Ini berarti $0 \leq 5x \leq 10\pi$.
Nilai $y$ sehingga $\tan(y) = -1$ adalah $y = 3\pi/4 + k\pi$.
Kita perlu $0 \leq 3\pi/4 + k\pi \leq 10\pi$.
$-3\pi/4 \leq k\pi \leq 10\pi - 3\pi/4 = 37\pi/4$.
$-3/4 \leq k \leq 37/4 = 9.25$.
Jadi nilai k adalah $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Ini memberikan 10 nilai untuk $5x$:
$k=0: 5x = 3\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 3\pi/20$
$k=1: 5x = 3\pi/4 + \pi = 7\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 7\pi/20$
$k=2: 5x = 3\pi/4 + 2\pi = 11\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 11\pi/20$
$k=3: 5x = 3\pi/4 + 3\pi = 15\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 15\pi/20 = 3\pi/4$
$k=4: 5x = 3\pi/4 + 4\pi = 19\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 19\pi/20$
$k=5: 5x = 3\pi/4 + 5\pi = 23\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 23\pi/20$
$k=6: 5x = 3\pi/4 + 6\pi = 27\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 27\pi/20$
$k=7: 5x = 3\pi/4 + 7\pi = 31\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 31\pi/20$
$k=8: 5x = 3\pi/4 + 8\pi = 35\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 35\pi/20 = 7\pi/4$
$k=9: 5x = 3\pi/4 + 9\pi = 39\pi/4 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 x = 39\pi/20$

Kumpulan solusi yang diperoleh adalah: $3\pi/20, 7\pi/20, 11\pi/20, 15\pi/20, 19\pi/20, 23\pi/20, 27\pi/20, 31\pi/20, 35\pi/20, 39\pi/20$. 
Kita sederhanakan $\pi/20$ menjadi denominator umum dan tulis ulang $3\pi/4$ sebagai $15\pi/20$ dan $7\pi/4$ sebagai $35\pi/20$.

Himpunan solusi: {$3\pi/20, 7\pi/20, 11\pi/20, 15\pi/20, 19\pi/20, 23\pi/20, 27\pi/20, 31\pi/20, 35\pi/20, 39\pi/20$}.

Sekarang, mari kita lihat kembali pilihan jawaban:
C. $3/20 \pi, 7/20 \pi, 11/20 \pi, 3/4 \pi, 19/20 \pi, 23/20 \pi, 27/20 \pi, 31/20 \pi. , .7/4 \pi, 39/20 \pi$
Ini cocok persis dengan himpunan solusi kita, di mana $3/4 \pi = 15\pi/20$ dan $7/4 \pi = 35\pi/20$.