Himpunan penyelesaian persamaan 4 sin ^(2) x-5 sin x-2=2

{7π/6, 11π/6}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 \cos^2 x\) pada interval \(0 \le x \le 2\pi\), kita perlu mengubahnya menjadi persamaan yang hanya melibatkan \(\sin x\) atau \(\cos x\) menggunakan identitas trigonometri dasar \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\).

1. Substitusikan \(\cos^2 x\) dengan \(1 - \sin^2 x\):
   \(4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 (1 - \sin^2 x)\)

2. Distribusikan 2 ke dalam kurung:
   \(4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 - 2 \sin^2 x\)

3. Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam \(\sin x\):
   \(4 \sin^2 x + 2 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 - 2 = 0\)
   \(6 \sin^2 x - 5 \sin x - 4 = 0\)

4. Misalkan \(y = \sin x\), sehingga persamaan menjadi persamaan kuadrat:
   \(6y^2 - 5y - 4 = 0\)

5. Faktorkan persamaan kuadrat tersebut. Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya \(6 \times -4 = -24\) dan jumlahnya \(-5\). Bilangan tersebut adalah \(-8\) dan \(+3\).
   \(6y^2 - 8y + 3y - 4 = 0\)
   \(2y(3y - 4) + 1(3y - 4) = 0\)
   \((2y + 1)(3y - 4) = 0\)

6. Cari nilai \(y\) (yaitu \(\sin x\)) dari kedua faktor:
   a) \(2y + 1 = 0 \Rightarrow 2y = -1 \Rightarrow y = -1/2\)
      Jadi, \(\sin x = -1/2\)
   b) \(3y - 4 = 0 \Rightarrow 3y = 4 \Rightarrow y = 4/3\)
      Jadi, \(\sin x = 4/3\). Nilai ini tidak mungkin karena \(\sin x\) nilainya berkisar antara -1 dan 1.

7. Cari nilai \(x\) dalam interval \(0 \le x \le 2\pi\) di mana \(\sin x = -1/2\).
   Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
   Sudut referensi untuk \(\sin x = 1/2\) adalah \(\pi/6\).
   Di kuadran III, \(x = \pi + \pi/6 = 7\pi/6\).
   Di kuadran IV, \(x = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6\).

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan \(4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 \cos^2 x\) untuk \(0 \le x \le 2\pi\) adalah \(\{7\pi/6, 11\pi/6\}\).