Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x^2-2x+1)/(x^2-x-6)

Himpunan penyelesaiannya adalah (-2, 3).

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x^2-2x+1)/(x^2-x-6) <= 0, kita perlu menganalisis tanda dari pembilang dan penyebutnya.

Pembilang: x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2. Pembilang ini selalu non-negatif (>= 0) untuk semua nilai x bilangan real. Pembilang bernilai 0 ketika x = 1.

Penyebut: x^2 - x - 6. Kita cari akar-akar dari penyebut dengan faktorisasi: (x-3)(x+2). Penyebut bernilai 0 ketika x = 3 atau x = -2. Karena penyebut tidak boleh nol, maka x != 3 dan x != -2.

Pertidaksamaan menjadi (x-1)^2 / ((x-3)(x+2)) <= 0.

Karena (x-1)^2 selalu >= 0, agar seluruh pecahan bernilai <= 0, maka penyebut harus bernilai negatif, dan pembilang tidak boleh nol di penyebut.

Kasus 1: Pembilang = 0 dan Penyebut < 0.
Jika (x-1)^2 = 0, maka x = 1. Ketika x = 1, penyebutnya adalah (1-3)(1+2) = (-2)(3) = -6, yang mana negatif. Jadi, x = 1 adalah solusi.

Kasus 2: Pembilang > 0 dan Penyebut < 0.
Karena pembilang selalu >= 0, kita hanya perlu mempertimbangkan penyebut < 0.
(x-3)(x+2) < 0.
Kita buat garis bilangan dengan akar-akar -2 dan 3. Uji nilai pada setiap interval:
- Jika x < -2 (misal x=-3): (-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6 (positif).
- Jika -2 < x < 3 (misal x=0): (0-3)(0+2) = (-3)(2) = -6 (negatif).
- Jika x > 3 (misal x=4): (4-3)(4+2) = (1)(6) = 6 (positif).
Jadi, penyebut bernilai negatif ketika -2 < x < 3.

Menggabungkan kedua kasus, himpunan penyelesaiannya adalah ketika penyebut negatif (-2 < x < 3) dan nilai x=1 yang membuat pembilang nol.
Himpunan penyelesaiannya adalah (-2, 3).