Himpunan penyelesaian sistem persamaan 4x^2+3y^2=4 dan

Himpunan penyelesaian: {(1/2, 1), (-1/2, 1), (1/2, -1), (-1/2, -1)}

Pembahasan

Soal #3 meminta untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel yaitu 4x^2 + 3y^2 = 4 dan 8x^2 + 5y^2 = 7.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Dalam kasus ini, metode eliminasi lebih efisien.

Kalikan persamaan pertama dengan 2 agar koefisien x^2 sama:
2 * (4x^2 + 3y^2 = 4)  =>  8x^2 + 6y^2 = 8

Sekarang kita punya sistem persamaan:
1) 8x^2 + 6y^2 = 8
2) 8x^2 + 5y^2 = 7

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(8x^2 + 6y^2) - (8x^2 + 5y^2) = 8 - 7
8x^2 + 6y^2 - 8x^2 - 5y^2 = 1
 y^2 = 1

Dari y^2 = 1, kita dapatkan y = 1 atau y = -1.

Sekarang substitusikan nilai y kembali ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai x. Mari kita gunakan persamaan pertama: 4x^2 + 3y^2 = 4.

Kasus 1: y = 1
4x^2 + 3(1)^2 = 4
4x^2 + 3 = 4
4x^2 = 4 - 3
4x^2 = 1
x^2 = 1/4
x = 1/2 atau x = -1/2

Jadi, untuk y = 1, kita punya solusi (1/2, 1) dan (-1/2, 1).

Kasus 2: y = -1
4x^2 + 3(-1)^2 = 4
4x^2 + 3(1) = 4
4x^2 + 3 = 4
4x^2 = 4 - 3
4x^2 = 1
x^2 = 1/4
x = 1/2 atau x = -1/2

Jadi, untuk y = -1, kita punya solusi (1/2, -1) dan (-1/2, -1).

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah { (1/2, 1), (-1/2, 1), (1/2, -1), (-1/2, -1) }.