Hitung nilai dari: 10 C 1+4 10 C 2+9 10 C 3+...+100 10 C10

28160

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari deret kombinasi:  10 C 1 + 4 * (10 C 2) + 9 * (10 C 3) + ... + 100 * (10 C 10).

Pola yang terlihat adalah suku ke-k (dimulai dari k=1) adalah (k-1)^2 * (10 C k) jika kita menganggap suku pertama adalah k=1, namun jika kita melihat pola koefisien 1, 4, 9, ..., 100, ini adalah kuadrat dari 1, 2, 3, ..., 10. Dan kombinasi yang digunakan adalah 10 C 1, 10 C 2, ..., 10 C 10.

Jadi, deretnya adalah:
Sum_{k=1}^{10} k^2 * (10 C k)

Ini adalah deret yang terkait dengan identitas kombinatorik.
Diketahui identitas: k * (n C k) = n * (n-1 C k-1)

Maka, k^2 * (n C k) = k * [k * (n C k)] = k * [n * (n-1 C k-1)]
Ini menjadi lebih rumit. Mari kita gunakan pendekatan lain.

Kita tahu bahwa nilai rata-rata dari X jika X ~ Binomial(n, p) adalah np. Variansi adalah np(1-p).

Ada identitas yang menyatakan bahwa:
Sum_{k=0}^{n} k^2 * (n C k) p^k (1-p)^(n-k) = np(1-p) + (np)^2

Jika kita set p=1/2, maka:
Sum_{k=0}^{n} k^2 * (n C k) (1/2)^n = n(1/2)(1/2) + (n(1/2))^2 = n/4 + n^2/4 = n(n+1)/4

Sum_{k=0}^{n} k^2 * (n C k) = 2^n * n(n+1)/4

Dalam kasus kita, n=10 dan penjumlahannya dimulai dari k=1 dan kita tidak memiliki suku 0.
Suku k=0 adalah 0^2 * (10 C 0) = 0 * 1 = 0.
Jadi, Sum_{k=0}^{10} k^2 * (10 C k) = Sum_{k=1}^{10} k^2 * (10 C k).

Menggunakan rumus dengan n=10:
Sum_{k=0}^{10} k^2 * (10 C k) = 2^10 * 10(10+1)/4
= 1024 * 10(11)/4
= 1024 * 110 / 4
= 1024 * 27.5
= 28160

Jadi, nilai dari 10 C 1 + 4 * 10 C 2 + 9 * 10 C 3 + ... + 100 * 10 C 10 adalah 28160.