Hitung u.v dari vektor-vektor berikut, kemudian cari nilai

u.v = -48, cos(theta) = -48/sqrt(6660)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung hasil perkalian titik (dot product) dari dua vektor dan kemudian menentukan kosinus sudut di antara keduanya.

Vektor u diberikan sebagai 5i + 7j, yang dapat ditulis dalam notasi komponen sebagai u = (5, 7).
Vektor v diberikan sebagai 3i - 9j, yang dapat ditulis dalam notasi komponen sebagai v = (3, -9).

1. Menghitung hasil u.v (dot product):
Rumus dot product untuk dua vektor u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah u.v = u1*v1 + u2*v2.
Jadi, u.v = (5 * 3) + (7 * -9)
u.v = 15 + (-63)
u.v = 15 - 63
u.v = -48

2. Mencari nilai cosinus sudut theta antara vektor u dan vektor v:
Rumus untuk mencari kosinus sudut theta antara dua vektor adalah:
cos(theta) = (u.v) / (|u| * |v|)

Kita perlu menghitung panjang (magnitudo) dari vektor u dan v:
Panjang vektor u (|u|) = sqrt(u1^2 + u2^2)
|u| = sqrt(5^2 + 7^2)
|u| = sqrt(25 + 49)
|u| = sqrt(74)

Panjang vektor v (|v|) = sqrt(v1^2 + v2^2)
|v| = sqrt(3^2 + (-9)^2)
|v| = sqrt(9 + 81)
|v| = sqrt(90)

Sekarang, substitusikan nilai-nilai yang telah dihitung ke dalam rumus cos(theta):
cos(theta) = -48 / (sqrt(74) * sqrt(90))
cos(theta) = -48 / sqrt(74 * 90)
cos(theta) = -48 / sqrt(6660)

Kita dapat menyederhanakan akar kuadratnya jika memungkinkan, tetapi untuk tujuan menjawab soal, kita biarkan seperti ini atau hitung nilai desimalnya.

Jadi, hasil u.v adalah -48, dan nilai cosinus sudut theta antara vektor u dan v adalah -48 / sqrt(6660).

Jawaban ringkas: u.v = -48, cos(theta) = -48/sqrt(6660)