Hitunglah lim x -> pi/2 cosx/(x-(pi/2))

-1

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit dari fungsi lim x -> pi/2 cosx/(x-(pi/2)), kita dapat mengenali bahwa ketika x mendekati pi/2, baik pembilang (cosx) maupun penyebut (x - pi/2) mendekati 0. Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, sehingga kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau substitusi.

Metode 1: Aturan L'Hôpital
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ~/~, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x), asalkan limit yang terakhir ada.

Turunan dari pembilang (cos x) adalah -sin x.
Turunan dari penyebut (x - pi/2) adalah 1.

Maka, limitnya menjadi:
lim x -> pi/2 (-sin x) / 1
= -sin(pi/2)
= -1

Metode 2: Substitusi
Misalkan y = x - pi/2. Maka, x = y + pi/2. Ketika x -> pi/2, maka y -> 0.

Substitusikan ke dalam limit:
lim y -> 0 cos(y + pi/2) / y

Kita tahu bahwa cos(A + pi/2) = -sin A.
Jadi, cos(y + pi/2) = -sin y.

Maka, limitnya menjadi:
lim y -> 0 (-sin y) / y

Ini adalah limit standar yang hasilnya adalah -1.

Jadi, nilai limit dari fungsi tersebut adalah -1.