Selesaikanlah tiap persamaan berikut untuk 0<=x<=360.3 cos

x ≈ 38.38° dan x ≈ 284.76°

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 3 cos x - sin x = √3 untuk 0° <= x <= 360°, kita bisa menggunakan metode mengubah bentuk ke R cos(x + α) atau R sin(x + α).

Metode 1: Mengubah ke R cos(x + α)
Bentuk R cos(x + α) = R(cos x cos α - sin x sin α)
Kita ingin 3 cos x - sin x = R cos x cos α - R sin x sin α.
Samakan koefisien cos x dan sin x:
R cos α = 3
R sin α = 1
Kuadratkan dan jumlahkan:
(R cos α)² + (R sin α)² = 3² + 1²
R²(cos² α + sin² α) = 9 + 1
R²(1) = 10
R = √10

Bagi kedua persamaan untuk mendapatkan α:
(R sin α) / (R cos α) = 1 / 3
tan α = 1/3
α = arctan(1/3) ≈ 18.43°

Jadi, persamaan menjadi √10 cos(x + 18.43°) = √3
cos(x + 18.43°) = √3 / √10
cos(x + 18.43°) ≈ 0.5477

Cari nilai (x + 18.43°) dalam rentang yang sesuai:
Misalkan θ = x + 18.43°. Maka cos θ ≈ 0.5477.
Nilai θ pertama (kuadran I) adalah θ₁ = arccos(0.5477) ≈ 56.81°.
Nilai θ kedua (kuadran IV) adalah θ₂ = 360° - 56.81° = 303.19°.

Sekarang, cari x:
x₁ + 18.43° = 56.81° => x₁ = 56.81° - 18.43° = 38.38°
x₂ + 18.43° = 303.19° => x₂ = 303.19° - 18.43° = 284.76°

Metode 2: Mengubah ke R sin(x + α)
Bentuk R sin(x + α) = R(sin x cos α + cos x sin α)
Kita ingin 3 cos x - sin x = R cos x sin α + R sin x cos α.
Samakan koefisien cos x dan sin x:
R sin α = 3
R cos α = -1
Kuadratkan dan jumlahkan:
(R sin α)² + (R cos α)² = 3² + (-1)²
R²(sin² α + cos² α) = 9 + 1
R²(1) = 10
R = √10

Bagi kedua persamaan untuk mendapatkan α:
(R sin α) / (R cos α) = 3 / -1
tan α = -3
Karena sin α positif (3) dan cos α negatif (-1), α berada di kuadran II.
α = arctan(-3) + 180° ≈ -71.57° + 180° = 108.43°

Jadi, persamaan menjadi √10 sin(x + 108.43°) = √3
sin(x + 108.43°) = √3 / √10
sin(x + 108.43°) ≈ 0.5477

Cari nilai (x + 108.43°) dalam rentang yang sesuai:
Misalkan φ = x + 108.43°. Maka sin φ ≈ 0.5477.
Nilai φ pertama (kuadran I) adalah φ₁ = arcsin(0.5477) ≈ 33.19°.
Nilai φ kedua (kuadran II) adalah φ₂ = 180° - 33.19° = 146.81°.

Sekarang, cari x:
x₁ + 108.43° = 33.19° => x₁ = 33.19° - 108.43° = -75.24°. Karena harus dalam rentang 0-360, tambahkan 360°: x₁ = -75.24° + 360° = 284.76°.
x₂ + 108.43° = 146.81° => x₂ = 146.81° - 108.43° = 38.38°.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Metadata:
Grades: 11, 12
Chapters: Trigonometri
Topics: Persamaan Trigonometri
Sections: Persamaan Bentuk a cos x + b sin x = c
Type: QnA