Hitunglah lim _(x -> (pi)/(2)) (ln (sin x)^(3))/((1)/(2)

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung limit dari fungsi yang diberikan ketika x mendekati π/2.
Fungsi yang diberikan adalah: lim_(x -> π/2) (ln(sin x)^3) / (1/2 π - x)
Pertama, kita periksa bentuk limitnya saat x mendekati π/2.
Saat x -> π/2, sin x -> sin(π/2) = 1.
Maka, ln(sin x)^3 -> ln(1)^3 = ln(1) = 0.
Penyebutnya, (1/2 π - x) -> (1/2 π - π/2) = 0.
Karena bentuknya adalah 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) adalah bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).
Turunan dari pembilang (ln(sin x)^3) adalah:
d/dx [3 ln(sin x)] = 3 * (1/sin x) * cos x = 3 cot x.
Turunan dari penyebut (1/2 π - x) adalah:
d/dx [1/2 π - x] = -1.
Maka, limitnya menjadi:
lim_(x -> π/2) (3 cot x) / (-1)
= lim_(x -> π/2) -3 cot x
Kita tahu bahwa cot x = cos x / sin x.
= lim_(x -> π/2) -3 (cos x / sin x)
Sekarang, substitusikan x = π/2:
= -3 * (cos(π/2) / sin(π/2))
= -3 * (0 / 1)
= -3 * 0
= 0.
Jadi, nilai dari lim_(x -> π/2) (ln(sin x)^3) / (1/2 π - x) adalah 0.