Hitunglah lim _(x -> (pi)/(6)) (sin x-cos 2 x)/(1-2 sin x)

Hasil limitnya adalah $-\frac{3}{2}$.

Pembahasan

Kita perlu menghitung limit dari fungsi $\frac{\sin x - \cos 2x}{1 - 2 \sin x}$ ketika $x$ mendekati $\frac{\pi}{6}$.

Langkah pertama adalah mencoba substitusi langsung nilai $x = \frac{\pi}{6}$ ke dalam fungsi:
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$\cos(2 \times \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Substitusi ke pembilang: $\sin x - \cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
Substitusi ke penyebut: $1 - 2 \sin x = 1 - 2(\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan metode lain seperti aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Mari kita gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan fungsi.
Kita tahu bahwa $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Substitusikan ini ke dalam pembilang:
Pembilang = $\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = \sin x - 1 + 2\sin^2 x$

Sekarang fungsi menjadi: $\frac{2\sin^2 x + \sin x - 1}{1 - 2 \sin x}$

Kita bisa memfaktorkan pembilang sebagai sebuah kuadrat dalam $\sin x$. Misalkan $y = \sin x$. Maka pembilang menjadi $2y^2 + y - 1$. Kita cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan $2 \times (-1) = -2$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $1$. Angka-angka tersebut adalah $2$ dan $-1$.
$2y^2 + 2y - y - 1$
$2y(y+1) - 1(y+1)$
$(2y-1)(y+1)$

Jadi, pembilang adalah $(2\sin x - 1)(\sin x + 1)$.

Fungsi kita sekarang menjadi: $\frac{(2\sin x - 1)(\sin x + 1)}{1 - 2 \sin x}$

Perhatikan bahwa $(2\sin x - 1)$ adalah negatif dari $(1 - 2\sin x)$. Jadi, $\frac{2\sin x - 1}{1 - 2 \sin x} = -1$.

Fungsi yang disederhanakan adalah $-1 \times (\sin x + 1) = -(\sin x + 1)$.

Sekarang kita hitung limit dari fungsi yang disederhanakan saat $x \to \frac{\pi}{6}$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} -(\sin x + 1)$
$= -(\sin(\frac{\pi}{6}) + 1)$
$= -(\frac{1}{2} + 1)$
$= -(\frac{3}{2})$
$= -\frac{3}{2}$

Jadi, hasil limitnya adalah $-\frac{3}{2}$.

Alternatif menggunakan Aturan L'Hopital:
Turunan dari pembilang $(\sin x - \cos 2x)$ adalah $\cos x - (-2\sin 2x) = \cos x + 2\sin 2x$.
Turunan dari penyebut $(1 - 2 \sin x)$ adalah $-2\cos x$.

Sekarang kita hitung limit dari perbandingan turunan tersebut:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x + 2\sin 2x}{-2\cos x}$
Substitusi $x = \frac{\pi}{6}$:
$\frac{\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(2 \times \frac{\pi}{6})}{-2\cos(\frac{\pi}{6})}$
$= \frac{\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{3})}{-2\cos(\frac{\pi}{6})}$
$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{-2(\frac{\sqrt{3}}{2})}$
$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$
$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}$
$= \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}$
$= \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{-\sqrt{3}}$
$= -\frac{3}{2}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.